随机向量的数字特征.ppt

1 随机向量的数字特征 第二节 2 一 随机向量的数学期望 1 若 X Y 是离散型随机变量 且其联合分布律为 则 2 若 X Y 是连续型随机变量 联合概率密度为f x y 则 3 解 例1设随机变量 X Y 的联合概率密度为 4 解 例1设随机变量 X Y 的联合概率密度为 5 例2 解 易见X和Y的联合概率密度为 6 解 易见X和Y的联合概率密度为 例2 7 二 随机变量的和与积的数学期望及方差 性质2设X Y独立 则E XY E X E Y 性质1E X1 X2 E X1 E X2 诸Xi独立时 推广 注意 由E XY E X E Y 不能推出X Y独立 8 性质3 设X和Y是两个相互独立的随机变量 则 证 而 9 当X和Y相互独立时 有 所以 推广 若X1 X2 Xn两两独立 则 更一般地 性质3 设X和Y是两个相互独立的随机变量 则 证 10 注意 以下两个式子是等价的 例如 当X和Y相互独立时 有 若X1 X2 Xn两两独立 则 11 例3一民航送客车载有20位旅客自机场开出 旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车就不停车 以X表示停车的次数 求E X 设每位旅客在各个车站下车是等可能的 并设各旅客是否下车相互独立 引入随机变量 则有 解 由题意 有 12 则有 由题意 有 所以 由数学期望的性质 得 13 例4下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的数学期望和方差 设X B n p X表示n重伯努利试验中的成功次数 设 而X X1 X2 Xn i 1 2 n 则 所以 Xi相互独立 14 三 随机变量的相关系数和相关性 为了研究随机向量的分量之间的相关程度 下面引进协方差和相关系数这两个概念 定义 计算公式 covariance 1 协方差的概念及其性质 15 定义 计算公式 其中 三 随机变量的相关系数和相关性 16 协方差的性质 1 对称性 2 线性性 3 若X和Y相互独立 则 因为X和Y相互独立 注意 反之未必成立 17 4 类似地有 推广 因此 若X1 X2 Xn两两独立 则有 18 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系 但它还受X与Y本身度量单位的影响 例如 为了消除量纲的影响 下面提出随机变量标准化的概念 可以验证 2 相关系数的概念及其性质 标准化随机变量消除了量纲的影响 19 可以验证 20 定义 计算公式 21 例5设 X Y 的联合分布律为 解 先求出边缘分布 22 23 例6设 X Y 的联合密度函数为 解 先求出边缘密度 均匀分布 24 类似地 25 26 注 实际上 本题不必求边缘密度 可以直接用以下公式计算E X E Y 等 实际上 第一种方法限定了求积分的次序 有时不方便 27 性质1 证 性质2 证 相关系数的性质 28 性质2 证 29 例7 解 30 相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量 参见如下的示意图 的值越接近于1 Y与X的线性相关程度越高 的值越接近于0 Y与X的线性相关程度越弱 3 随机变量的线性相关性 31 定义 下列事实彼此等价 定理若X与Y相互独立 则X与Y不相关 注意 逆命题不成立 即X与Y不相关时 不一定独立 32 例8设 X Y 的分布律为 所以 这表示X Y不存在线性关系 但 知X Y不独立 事实上 X Y具有非线性关系 33 前面已经证明X和Y不是相互独立的 但X和Y不是相互独立的 解 上的均匀分布 试验证X和Y是不相关的 例9设二维随机变量 X Y 服从单位圆 同理 X Y 的概率密度为 利用对称性 所以 即X和Y不相关 34 四 随机向量的协方差矩阵和相关矩阵 将二维随机变量 X1 X2 的四个二阶中心矩 排成矩阵的形式 称此矩阵为 X1 X2 的协方差矩阵 这是一个对称矩阵 35 类似定义n维随机向量 X1 X2 Xn 的协方差矩阵 为 X1 X2 Xn 的协方差矩阵 称矩阵 都存在 若 显然协方差矩阵是一个对称矩阵 可以证明 协方差矩阵是一个半正定矩阵 36 例10已知随机向量 X Y 的协方差矩阵为 求随机向量 X Y X Y 的协方差矩阵 解 由题意知 所以 X Y X Y 的协方差矩阵为 37 还可定义n维随机向