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第七节二阶常系数线性微分方程 定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 一 二阶常系数齐次线性方程解法 特征方程法 将其代入上方程 得 故有 特征方程 特征根 有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 n阶常系数齐次线性方程解法 特征方程为 注意 n次代数方程有n个根 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项 且每一项各一个任意常数 特征根为 故所求通解为 解 特征方程为 例3 小结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 1 写出相应的特征方程 2 求出特征根 3 根据特征根的不同情况 得到相应的通解 见下表 思考题 求微分方程的通解 思考题解答 令 则 特征根 通解 练习题 练习题答案 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点 如何求特解 方法 待定系数法 1 型 二 二阶常系数非齐次线性微分方程 设非齐方程特解为 代入原方程 综上讨论 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 k是重根次数 特别地 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程 得 原方程通解为 例4 利用欧拉公式 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 原方程通解为 取虚部 例5 解 对应齐次方程的通解 作辅助方程 代入辅助方程 例6 所求非齐方程特解为 原方程通解为 取实部 注意 小结 待定系数法 只含上式一项解法 作辅助方程 求特解 取特解的实部或虚部 得原非齐方程特解 思考题 写出微分方程 的待定特解的
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