解析函数的级数表示.ppt

2020 3 25 1 第四章解析函数的级数表示 4 1复数项级数 4 2复变函数项级数 4 3泰勒级数 4 4洛朗级数 2020 3 25 2 4 1复数项级数 1 复数序列的极限 2020 3 25 3 2020 3 25 4 2 复数项级数 2020 3 25 5 2020 3 25 6 定理2将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题 2020 3 25 7 2020 3 25 8 解 1 因发散 收敛 故原级数发散 2020 3 25 9 2020 3 25 10 2020 3 25 11 1 发散 2 绝对收敛 3 收敛 条件收敛 4 绝对收敛 5 绝对收敛 2020 3 25 12 4 2复变函数项级数 1 复变函数项级数 2020 3 25 13 2020 3 25 14 2 幂级数 阿贝尔定理 2020 3 25 15 2020 3 25 16 2020 3 25 17 2020 3 25 18 2020 3 25 19 2020 3 25 20 2020 3 25 21 4 幂级数的运算和性质象实变幂级数一样 复变幂级数也能进行有理运算 设 2020 3 25 22 这个代换运算 在把函数展开成幂级数时 有着广泛的应用 2020 3 25 23 2020 3 25 24 3 f z 在收敛圆内可以逐项积分 即 2020 3 25 25 4 3泰勒级数 2020 3 25 26 利用泰勒展开式 我们可以直接通过计算系数 把f z 在z0展开成幂级数 这被称作直接展开法 例如 求ez在z 0处的泰勒展开式 由于 ez n ez ez n z 0 1 n 0 1 2 故有 因为ez在复平面内处处解析 上式在复平面内处处成立 收敛半径为 2020 3 25 27 同样 可求得sinz与cosz在z 0的泰勒展开式 除直接法外 也可以借助一些已知函数的展开式 利用幂级数的运算性质和分析性质 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式 此方法称为间接展开法 例如sinz在z 0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出 2020 3 25 28 解 由于函数有一奇点z 1 而在 z 1内处处解析 所以可在 z 1内展开成z的幂级数 因为 例1把函数展开成z的幂级数 2020 3 25 29 例2求对数函数的主值ln 1 z 在z 0处的幂级数展开式 解 ln 1 z 在从 1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的 1是它的奇点 所以可在 z 1展开为z的幂级数 2020 3 25 30 推论1 推论2 推论3 幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点 即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛 2020 3 25 31 推论4 例如 它有两个奇点 i 而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上 所以这个级数的收敛半径只能等于1 因此 即使我们只关心z的实数值 但复平面上的奇点形成了限制 1 z2 z4 如复变函数 2020 3 25 32 2020 3 25 33 2020 3 25 34 4 4洛朗级数 2020 3 25 35 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正 负幂项的级数是唯一的 这个级数就是f z 的洛朗级数 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性 一般可以用代数运算 代换 求导和积分等方法去展开 以求得洛朗级数的展开式 2020 3 25 36 解 函数f z 在圆环域i 0 z 1 ii 1 z 2 iii 2 z 内是处处解析的 应把f z 在这些区域内展开成洛朗级数 2020 3 25 37 先把f z 用