集合与常用逻辑用语.ppt

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合及其运算第二节命题及其关系 充分条件与必要条件第三节简单的逻辑联结词 全称量词与存在词专家讲坛 备考方向要明了 考什么 1 集合的含义与表示 1 了解集合的含义 体会元素与集合的属于关系 2 能用自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的具体问题 2 集合间的基本关系 1 理解集合之间包含与相等的含义 能识别给定集合的子集 2 在具体情境中 了解全集与空集的含义 3 集合的基本运算 1 理解两个集合的并集与交集的含义 会求两个简单集合的并集与交集 2 理解在给定集合中一个子集的补集的含义 会求给定子集的补集 3 能使用韦恩 Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算 怎么考 1 对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之间的关系 考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力 如2009年高考T14 2 对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面 1 判断给定两个集合之间的关系 主要是子集关系的判断 2 以不等式的求解为背景 利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题 如2009年高考T11 3 集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解 函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交 并 补运算 以补集与交集的基本运算为主 考查借助数轴或Venn图进行集合运算 如2010年高考T1 2011年高考T1 T14 2012年高考T1 归纳知识整合 1 元素与集合 1 集合元素的特性 无序性 2 集合与元素的关系 若a属于A 记作 若b不属于A 记作 3 集合的表示方法 图示法 确定性 互异性 a A b A 列举法 描述法 4 常见数集及其符号表示 N N 或N Z Q R 探究 1 集合A x x2 0 B x y x2 C y y x2 D x y y x2 相同吗 它们的元素分别是什么 提示 这4个集合互不相同 A是以方程x2 0的解为元素的集合 即A 0 B是函数y x2的定义域 即B R C是函数y x2的值域 即C y y 0 D是抛物线y x2上的点组成的集合 2 0与集合 0 是什么关系 与集合 呢 提示 0 0 或 2 集合间的基本关系 都相同 任何集合 任何 非空集合 A B B A A B B A 探究 3 对于集合A B 若A B A B 则A B有什么关系 提示 A B 假设A B 则A B A B 与A B A B矛盾 故A B 3 集合的基本运算 A B A B UA x A 或x B x A 且x B x x U 且x A 探究 4 同一个集合在不同全集中的补集相同吗 提示 一般情况下不相同 如A 0 1 在全集B 0 1 2 中的补集为 BA 2 在全集D 0 1 3 中的补集为 DA 3 自测牛刀小试 1 已知集合M 1 m 2 m2 4 且5 M 则m 解析 5 1 m 2 m2 4 m 2 5或m2 4 5 即m 3或m 1 当m 3时 M 1 5 13 当m 1时 M 1 3 5 当m 1时M 1 1 5 不满足互异性 m的值为3或1 答案 3或1 2 教材改编题 已知集合A 1 2 若A B 1 2 则集合B有 个 解析 A 1 2 A B 1 2 B A B 1 2 1 2 答案 4 3 2013 南京四校联考 若全集U 0 1 2 3 4 集合M 0 1 集合N 2 3 则 UM N 解析 0 1 2 3 4 M 0 1 UM 2 3 4 U N 2 3 答案 2 3 4 定义集合运算 A B z z xy x A y B 设A 1 2 B 0 2 则集合A B的所有元素之和为 解析 z xy x A y B 且A 1 2 B 0 2 z的取值有 1 0 0 1 2 2 2 0 0 2 2 4 故A B 0 2 4 集合A B的所有元素之和为 0 2 4 6 答案 6 5 教材改编题 设集合A x 2 x 4 B x 3x 7 8 2x 则A B A B UA UB 解析 A x 2 x 4 B x x 3 UA x x 2 或x 4 UB x x 3 A B x x 2 A B x 3 x 4 UA UB x x 2 答案 x x 2 x 3 x 4 x x 2 集合的基本概念 自主解答 1 集合 z z x y x A y B 1 1 3 故所求集合中元素的个数为3 2 9 A B 9 A且9 B 2a 1 9或a2 9 a 5或a 3 当a 5时 A 4 9 25 B 0 4 9 符合题意 当a 3时 A 4 5 9 B不满足集合中元素的互异性 故a 3 当a 3时 A 4 7 9 B 8 4 9 符合题意 a 5或a 3 答案 1 3 2 5或 3 本例 2 中 将 9 A B 改为 A B 9 其他条件不变 则实数a为何值 解 A B 9 9 A且9 B 2a 1 9或a2 9 即a 5或a 3 当a 5时 A 4 9 25 B 0 4 9 A B 4 9 不满足题意 a 5 当a 3时 A 4 5 9 B 2 2 9 不满足集合中元素的互异性 a 3 当a 3时 A 4 7 9 B 8 4 9 A B 9 符合题意 a 3 解决集合问题的一般思路 1 研究一个集合 首先要看集合中的代表元素 然后再看元素的限制条件 当集合用描述法表示时 注意弄清其元素表示的意义是什么 2 对于含有字母的集合 在求出字母的值后 要注意检验集合是否满足互异性 1 1 已知非空集合A x R x2 a 1 则实数a的取值范围是 2 已知集合A x x2 2x a 0 且1 A 则实数a的取值范围是 解析 1 集合A x R x2 a 1 为非空集合 a 1 0 即a 1 2 1 x x2 2x a 0 1 x x2 2x a 0 即1 2 a 0 a 1 答案 1 1 2 1 集合间的基本关系 答案 8 2 根据两集合的关系求参数的方法已知两集合的关系求参数时 关键是将两集合的关系转化为元素间的关系 进而转化为参数满足的关系 解决这类问题常常要合理利用数轴 Venn图帮助分析 而且经常要对参数进行讨论 还要注意能否取到端点值 答案 0或2或3 集合的基本运算 3 2012 枣庄模拟改编 已知全集U Z 集合A x x2 x B 1 0 1 2 则图中阴影部分所表示的集合为 解析 由A x x2 x 得A 0 1 图中阴影部分所表示的集合是由不在集合A中 但在集合B中的元素构成的集合 即 UA B 易知 UA B 1 2 故图中阴影部分所表示的集合为 1 2 答案 1 2 集合中的新定义问题 例4 2012 东城模拟改编 非空集合G关于运算 满足 1 对任意a b G 都有a b G 2 存在c G 使得对一切a G 都有a c c a a 则称集合G关于运算 为 融洽集 现给出下列集合和运算 G 非负整数 为整数的加法 G 偶数 为整数的乘法 G 平面向量 为平面向量的加法 G 二次三项式 为多项式的加法 其中G关于运算 为 融洽集 的是 自主解答 错 因为不满足条件 2 错 因为不满足条件 1 答案 解决新定义问题应注意以下几点 1 遇到新定义问题 应耐心读题 分析新定义的特点 弄清新定义的本质 2 按新定义的要求 照章办事 逐步分析 验证 运算 使问题得以解决 答案 3 1 认清集合元素的属性 是点集 数集或其他情形 和化简集合是正确求解的两个先决条件 2 要注意区分元素与集合的从属关系以及集合与集合的包含关系 3 要注意空集的特殊性 在写集合的子集时不要忘了空集和它本身 4 运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心 5 在解决含参数的集合问题时 要注意检验集合中元素的互异性 否则很可能会因为不满足 互异性 而导致解题错误 创新交汇 与集合运算有关的交汇问题1 集合的运算是高考的常考内容 以两个集合的交集和补集运算为主 且常与函数 不等式 三角函数 向量等内容相结合 以创新交汇问题的形式出现在高考中 2 解决集合的创新问题常分三步 1 信息提取 确定化归的方向 2 对所提取的信息进行加工 探求解决方法 3 将涉及到的知识进行转换 有效地输出 其中信息的提取和转化与化归是解题的关键 也是解题的难点 答案 4 答案 0 1 3 设M a a 2 0 m 0 1 m R 和N b b 1 1 n 1 1 n R 都是元素为向量的集合 则M N 解析 设c x y M N 则有 x y 2 0 m 0 1 1 1 n 1 1 即 2 m 1 n 1 n 所以由此解得n 1 m 0 x y 2 0 即M N 2 0 答案 2 0 1 已知集合M 1 0 1 N x x ab a b M 且a b 则集合M与集合N的关系是 解析 由于M 1 0 1 所以x 0 1 故N 0 1 所以N M 答案 N M 2 设全集U R A x x2 3x 0 B x x 1 则图中阴影部分表示的集合为 解析 依题意得集合A x 3 x 0 所求的集合即为A B 所以图中阴影部分表示的集合为 x 3 x 1 答案 x 3 x 1 答案 4 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 理解命题的概念 2 了解 若p 则q 形式的命题的逆命题 否命题和逆否命题 会分析四种命题的相互关系 3 理解必要条件 充分条件与充要条件的意义 1 对命题及其关系的考查主要有以下两种方式 1 考查简单命题的真假判断 其中结合命题的四种形式 充要条件以及复合命题 全称命题等组成的混合选项问题是命题的重点 如2009年高考T12 2 考查命题的四种形式 以原命题的否命题 逆否命题的形式为考查重点 怎么考 2 对充要条件的考查 主要从以下三个方面命题 1 以其他知识模块内容为背景 考查充要条件的判断 多以函数的性质 不等式的性质及其应用 解析几何中的直线与圆 圆锥曲线的位置关系以及空间中的线面位置关系等为主 2 以其他知识模块内容为背景 考查充要条件的探求 尤其要注意逻辑联结词 非 与充要条件相结合的问题 3 考查利用条件和结论之间的充要条件关系求解参数的取值范围 如2008年高考T20第 1 问 归纳知识整合 1 命题能够的语句叫做命题 其中判断为真的语句叫做真命题 判断为假的语句叫做假命题 2 四种命题及其关系 1 四种命题间的相互关系 判断真假 2 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性 探究 1 在原命题及其逆命题 否命题 逆否命题这4个命题中 真命题的个数可能有几个 提示 由于原命题与逆否命题是等价命题 逆命题与否命题是等价命题 所以真命题的个数可能为0 2 4 相同 没有关系 3 充分条件与必要条件 1 如果 那么称p是q的充分条件 同时称的必要条件 2 如果 那么称p是q的充分必要条件 简称为p是q的充要条件 记作p q p q q是p p q 且q p 探究 2 p是q的充分不必要条件 与 p的一个充分不必要条件是q 两者的说法相同吗 提示 两者说法不相同 p的一个充分不必要条件是q 等价于 q是p的充分不必要条件 显然这与 p是q的充分不必要条件 是截然不同的 3 命题 若p 则q 的逆命题为真 逆否命题为假 则p是q的什么条件 提示 逆命题为真 即q p 逆否命题为假 即p q 故p是q的必要不充分条件 自测牛刀小试 1 教材改编题 给出命题 若x2 y2 0 则x y 0 在它的逆命题 否命题 逆否命题中 真命题的个数是 解析 逆命题为 若x y 0 则x2 y2 0 是真命题 否命题为 若x2 y2 0 则x 0或y 0 是真命题 逆否命题为 若x 0或y 0 则x2 y2 0 是真命题 答案 3 答案 充分不必要 3 命题 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数 的否命题是 解析 原命题的否命题是既否定题设又否定结论 故 若f x 是奇函数 则f x 是奇函数 的否命题是 若是 f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 答案 若f x 不是奇函数 则f x 不是奇函数 答案 充分不必要 四种命题及其真假判断 例1 在命题p的四种形式 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 中 真命题的个数记为f p 已知命题p 若两条直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0平行 则a1b2 a2b1 0 那么f p 等于 自主解答 原命题p显然是真命题 故其逆否命题也是真命题 而其逆命题是 若a1b2 a2b1 0 则两条直线l1与l2平行 这是假命题 因为当a1b2 a2b1 0时 还有可能l1与l2重合 逆命题是假命题 从而否命题也为假命题 故f p 2 答案 2 判断四种命题间的关系的方法 1 在判断四种命题之间的关系时 首先要注意分清命题的条件与结论 再比较每个命题的条件与结论之间的关系 要注意四种命题关系的相对性 一旦一个命题定为原命题 也就相应地有了它的 逆命题 否命题 逆否命题 2 当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时 必须保留大前提 也就是大前提不动 对于由多个并列条件组成的命题 在写其他三种命题时 应把其中一个 或n个 作为大前提 充分条件 必要条件的判断 2 下面四个条件中 使a b成立的充分不必要的条件是 填正确的序号 a b 1 a b 1 a2 b2 a3 b3 例2 1 2012 浙江高考改编 设a R 则 a 1 是 直线l1 ax 2y 1 0与直线l2 x 2y 4 0平行 的 条件 2 对于 a b 1 a b 1 0 a b 但a 2 b 1满足a b 而a b 1 不满足a b 1 故 项正确 对于 a b 1不能推出a b 排除 对于 由a2 b2不能推出a b 如a 2 b 1 2 2 12 但 2b a3 b3 它们互为充要条件 排除 答案 1 充分必要 2 2 已知命题p 函数f x x a 在 1 上是增函数 命题q f x ax a 0且a 1 是减函数 则p是q的 条件 解析 若命题p为真 则a 1 若命题q为真 则0 a 1 由q能推出p 但由p不能推出q p是q的必要不充分条件 答案 必要不充分 充要条件的应用 答案 0 1 创新交汇 与充要条件有关的交汇问题 1 充分条件 必要条件和充要条件的判断是每年高考的热点内容 多与函数 不等式 向量 立体几何 解析几何等交汇命题 2 突破此类问题的关键有以下四点 1 要分清命题的条件与结论 2 要善于将文字语言转化为符号语言进行推理 3 要注意等价命题的运用 4 当判断多个命题之间的关系时 常用图示法 它能使问题直观 易于判断 答案 3或4 1 已知向量a x 1 2 b 2 1 则a b的充要条件是 解析 a b a b 0 a b x 1 2 2 1 2 x 1 2 1 2x 0 解得x 0 答案 x 02 对于常数m n mn 0 是 方程mx2 ny2 1的曲线是椭圆 的 条件 解析 当m0 但mx2 ny2 1没有意义 不是椭圆 反之 若mx2 ny2 1表示椭圆 则m 0 n 0 即mn 0 答案 必要不充分 3 设集合A x R x 2 0 B x R x0 则 x A B 是 x C 的 条件 解析 化简得A x x 2 B x x2 A B C x A B 是 x C 的充要条件 答案 充分必要 1 已知a b c R 命题 若a b c 3 则a2 b2 c2 3 的否命题是 解析 a b c 3的否定是a b c 3 a2 b2 c2 3的否定是a2 b2 c2 3 答案 若a b c 3 则a2 b2 c2 32 设x y R 则 x 2且y 2 是 x2 y2 4 的 解析 由x 2且y 2可得x2 y2 4 但反之不成立 答案 充分不必要条件 答案 充分不必要条件 答案 充要条件 答案 2 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 了解逻辑联结词 或 且 非 的含义 2 理解全称量词与存在量词的意义 3 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 1 对三个逻辑联结词的要求虽然只是了解 但这三个逻辑联结词却是高考试题中的常客 其中 综合其他知识对含有这几个逻辑联结词的命题的运用是高考的热点 2 对全称量词与存在量词的考查 主要是结合其他知识点考查含有全称量词与存在量词的命题的判断 多为填空题也有解答题 试题难度不一 如2010年高考T19 归纳知识整合 真 真 真 真 真 真 假 假 假 假 假 假 x M p x x M p x 3 含有一个量词的命题的否定 探究 2 全称命题 存在性命题 的否定还是全称命题 存在性命题 吗 其真假性与原命题有什么关系 提示 不是 全称命题的否定是存在性命题 存在性命题的否定是全称命题 它们的真假性与原命题恰好相反 自测牛刀小试 1 教材改编题 下列命题是真命题的是 27是3的倍数或27是9的倍数 27是3的倍数且27是9的倍数 平行四边形的对角线互相垂直且平分 平行四边形的对角线互相垂直或平分 1是方程x 1 0的根 且是方程x2 5x 4 0的根 解析 平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直 故 错误 答案 答案 含有逻辑联结词的命题的真假判断 答案 答案 假 全称命题 存在性命题的真假判断 答案 1 2 在本例 2 中 若将 a 0 改为 a 0 其他条件不变 则如何选择 解析 若a 0 则f m 为函数f x 的最大值 故选项 错误 答案 1 全称命题真假的判断方法 1 要判断一个全称命题是真命题 必须对限定的集合M中的每一个元素x 证明p x 成立 2 要判断一个全称命题是假命题 只要能举出集合M中的一个特殊值x x0 使p x0 不成立即可 2 存在性命题真假的判断方法要判断一个存在性命题是真命题 只要在限定的集合M中 找到一个x x0 使p x0 成立即可 否则这一存在性命题就是假命题 2 下列命题中 真命题是 m R 使函数f x x2 mx x R 是偶函数 m R 使函数f x x2 mx x R 是奇函数 m R 函数f x x2 mx x R 都是偶函数 m R 函数f x x2 mx x R 都是奇函数 解析 由于当m 0时 函数f x x2 mx x2为偶函数 故 m R 使函数f x x2 mx x R 为偶函数 是真命题 答案 含有一个量词的命题的否定 2 常见词语的否定形式 正面词语 是 都是 至少有一个 至多有一个 对任意x A使p x 真 否定词语 不是 不都是 一个也没有 至少有两个 存在x0 A 使p x0 假 3 命题 能被5整除的数 末位是0 的否定是 解析 省略了全称量词 任何一个 否定为 有些可以被5整除的数 末位不是0 答案 有些可以被5整除的数 末位不是0 根据命题真假确定参数的取值范围 例4 2013 济宁模拟改编 已知命题p 关于x的方程x2 ax 4 0有实根 命题q 关于x的函数y 2x2 ax 4在 3 上是增函数 若p或q是真命题 p且q是假命题 则实数a的取值范围是 答案 12 4 4 保持本例条件不变 若p q为真 则结果如何 解析 p q为真 p和q均为真 a的取值范围为 12 4 4 易误警示 辨析含有量词的命题的否定中的易误点 解析 题目中命题的意思是 对任意的x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0都成立 要否定它 只要找到至少一组x1 x2 使得 f x2 f x1 x2 x1 0即可 故命题 x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 的否定是 x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 答案 1 因忽视对量词的改写 错选 因忽视对不等号的改写 误选 因对量词的改写不准确 误选 2 此类问题 还易出现以下错误 有的全称命题的全称量词往往可以不写 从而在进行命题否定时将全称命题只否定判断词 而不否定省略了的全称量词 如命题 三角形的两边之和大于第三边 的否定应为 有些三角形的两边之和小于或等于第三边 而不是 三角形的两边之和小于或等于第三边 3 为避免上述错误 对含有一个量词的命题进行否定时 应重点关注以下几点 正确理解含有一个量词的命题的否定的含义 从整体上把握 明确其否定的实质 明确命题的类型 是全称命题还是存在性命题 记住一些常用的词语的否定形式及其规律 1 命题 存在x R 2x 0 的否定是 解析 原命题的否定可写为 不存在x R 2x 0 其等价命题是 对任意的x R 2x 0 答案 对任意的x R 2x 0 答案 x 0且y 0 答案 q1 q4 4 已知命题p 在 ABC中 C B 是 sinC sinB 的充分不必要条件 命题q a b 是 ac2 bc2 的充分不必要条件 则下列选项中正确的是 p真q假 p假q真 p q 为假 p q 为真 答案 三法破解集合运算和充要条件判断的问题 一 三法破解集合运算问题集合的基本运算主要包括交集 并集 补集 集合是历年高考的必考内容 解决集合的基本运算问题 首先要明确集合中元素的性质 通过解不等式求出每个集合 然后弄清几个集合之间的关系 最后利用列举法 借助数轴或Venn图等根据交集 并集 补集的定义进行基本运算 从而得出结果 方法一列举法列举法就是通过枚举集合中所有的元素 然后根据集合基本运算的定义求解的方法 此类方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题 其基本的解题步骤是 例1 设P Q为两个非空实数集合 定义集合P Q z z a b a P b Q 若P 1 0 1 Q 2 2 则集合P Q中元素的个数是 答案 3 方法二数形结合法数形结合法就是利用数轴或Venn图表示出相关集合 然后根据图形求解集合的补集或者进行相关集合的交集 并集的基本运算 其求解的基本步骤是 答案 x 1 x 2 点评 数形结合法主要是利用图形的直观性来进行集合的基本运算 应注意利用数轴表示集合时 要根据端点值的取舍情况正确选用实心点或空心点标注对应集合 避免因区间端点值的取舍不当造成增解或漏解 方法三属性分析法属性分析法就是根据元素与集合之间的确定关系来进行集合基本运算的方法 主要是解决点集问题中某个集合与已知集合之间的关系问题 解决此类问题的基本步骤是 例3 已知全集U