随机变量的概率分布.ppt

算卦的故事 第五章随机变量的概率分布一 随机变量1 随机现象 一定条件下出现的结果事先不能确定的现象 掷硬币后哪面朝上 确定性现象 一定条件下某种结果是否出现事先能确定的现象 必然现象与不可能现象 2 随机试验 对随机现象的一次观察 随机事件 随机现象中出现的各种可能的结果 3 随机变量 描述随机试验结果 随机事件 的变量称随机变量 即 用随机变量的不同取值表示随机试验的各种不同结果 试验试验结果 事件 随机变量抛掷一枚硬币正面 反面Z 1 Z 1对某一零件进行检验合格 不合格X 1 X 0投掷一颗骰子1 2 3 4 5 6Y 1 Y 2 Y 6进行一场足球比赛获胜 失利 平局Q 3 Q 0 Q 1 二 概率反映随机事件在试验中发生的可能性大小的数字指标叫作概率 在频数 率 分布中我们关心的是变量取值的频数或频率 对于随机变量我们的重点不在于它取值的频数或频率 而是它取该值的概率 1 概率的古典定义如果 1 某一随机试验的结果有限 2 各个结果出现的可能性相等 则某一事件A发生的概率为该事件所包含的试验结果 基本事件 数m与试验所包含的全部试验结果 基本事件 数n的比值 例 试验试验结果 事件 投掷一颗骰子1 2 3 4 5 6求点数2朝上的概率解 点数2朝上 设为事件A 它只包含1个基本事件 试验的全部基本事件有6个 即m 1 n 6 例某班有50人 其中男生32人 女生18人 随机抽取一名学生 问抽到女生的概率是多少 解 随机抽取学生 是一次随机试验 共包含50个结果 50个基本事件 抽到女生 由18个基本事件组成 由于每一位学生被抽到的可能性相等 则 P 抽到女生 18 50 0 36 2 概率的统计定义在相同条件下 随机试验 次 某事件A出现 次 则比值m n称为事件A发生的频率 随着 的增大 该频率围绕某一常数上下波动 且波动的幅度逐渐减小 趋向于稳定 这个频率的稳定值即为该事件的概率 记为 德 摩根 试验者 抛掷次数n 出现正面的次数m 出现正面的频率m n 2048 1061 0 518 蒲丰 4040 2048 0 5069 皮尔逊 12000 6019 0 5016 皮尔逊 24000 12012 0 5005 维尼 0 4998 14994 30000 抛掷硬币的试验 历史纪录 统计概率 古典概率P A 0 5 思考题 判断以下哪些试验符合概率的古典定义的要求 试验试验结果 事件 抛掷一枚硬币正面 反面对某一零件进行检验合格 不合格投掷一颗骰子1 2 3 4 5 6进行一场足球比赛获胜 失利 平局 3 概率的加法定理和乘法定理 1 概率的加法定理若事件 发生 则事件 就一定不发生 这样的两个事件为互不相容事件 两互不相容事件和的概率 等于这两个事件概率之和 即 2 概率的乘法定理若事件 发生不影响事件 是否发生 这样的两个事件为互相独立事件 两个互相独立事件积的概率 等于这两个事件概率的乘积 即 例 某一学生从 个试题中任意抽取一题 进行口试 如果抽到每一题的概率为1 5 则抽到试题 或试题 的概率是多少 如果有4名学生抽题 前一个学生把抽过的试题还回后 后一个学生再抽 则 名学生都抽到试题1的概率是多少 计算 抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和 即 4名学生都抽到第一题 其概率应为抽到第一题的概率的乘积 即 三 随机变量的概率分布与用频数 率 分布来描述变量的取值情况类似 对于随机变量取不同值时的概率 我们可以用概率分布来描述 依随机变量的类型 可将概率分布分为离散型概率分布与连续型概率分布 心理与教育统计学中最常用的离散型分布是二项分布 最常用的连续型分布是正态分布 1 二项分布条件 1 试验中包含了n次相同的试验 2 每一次试验只有两个可能的结果 成功 和 失败 3 出现 成功 的概率p在n次试验中不变 失败 的概率q也不变 p q 14 试验是相互独立的 则n次试验中 成功 的次数为X的概率为 上式即二项分布的数学表达式 还可把各个X值及其概率列成表或图 全凭猜测答10道是非题 问分别答对5 6 7 8 9 10题的概率各为多少 至少答对5题的概率又是多少 全凭猜测答10道4选1选择题 问分别答对8 9 10题的概率各为多少 至少答对1题的概率又是多少 至少答对9题的概率是多少 估计三个同学的篮球进球率都为0 30 那么这三个同学中有两个一投即进的概率是多少 分析 试验包含了三个相同的试验 投篮三个同学的任一个即为一次试验 每次试验都有两个结果 进或不进 进球的概率 0 30 而不进球的概率 0 70 被假设为对这三个同学都相等 某个同学能否进球独立于其他同学的进球情况 二项分布概率表 截表 2 正态分布当X是连续型随机变量时 不可能象离散型随机变量那样列出X取各个值的概率 我们只能计算X落入某个区间内的概率 即 当X为离散型随机变量可以计算P X a P X b 当X为连续型随机变量只能计算P Xa 或P a X b X连续时以曲线下面的面积表示概率 X在a与b之间的概率为 式中f x 称作随机变量X的概率密度函数 则称X服从正态分布 记作X N 2 为随机变量X的均值 为随机变量X的标准差 为圆周率3 14159 e为自然对数的底2 71828 正态分布的概率密度曲线 如果随机变量X的概率密度是 和是正态分布的两个参数 和变化 则正态分布的型态也随之变化 当对X进行Z转换后 正态分布就被转换为标准正态分布了 标准正态分布 0 1 正态分布 标准正态分布 标准正态分布表利用积分公式可求出正态曲线下任何区间的面积 但需要计算 非常麻烦 统计学家已编制好了标准正态分布表 使其使用非常方便 例 X N 0 1 求以下概率1 P 0 1 例X N 5 102 求概率 1 P 58 解 1 0 0478 正态分布 标准正态分布 1664 0832 0832 2 标准正态分布 正态分布 正态分布 标准正态分布 1179 5000 3821 3 例在某年高考的平均分数为500 标准差