选修4-4简单曲线的极坐标方程.ppt

1 3简单曲线的极坐标方程 3 极坐标与直角坐标的互化公式 复习 1 极坐标系的四要素 2 点与其极坐标一一对应的条件 极点 极轴 长度单位 角度单位及它的正方向 1 直角坐标是 x y 极坐标是 2 极坐标是 直角坐标是 x y 1 曲线C上点的坐标都是这个方程f x y 0的解 2 以这个方程f x y 0的解为坐标的点都是曲线C上 在直角坐标系中 如果某曲线C可以用方程f x y 0表示 曲线与方程满足如下的关系 在极坐标中 曲线 上任一点的坐标是否符合方程f 0 x y O M x y r C x2 y2 r2 曲线的极坐标方程 一 定义 如果曲线 上的点与方程f 0有如下关系 曲线 上任一点的坐标 所有坐标中至少有一个 符合方程f 0 方程f 0的所有解为坐标的点都在曲线 上 则曲线 的方程是f 0 x O M x y 2 C x2 y2 22 M M 2 2 两种方程能不能互化 探究 如图 半径为a的圆的圆心坐标为 a 0 a 0 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 满足的条件 x C a 0 O 1 圆的极坐标方程 C a 0 O x M 1 cos 2 即 中 以外的任意一点 那么OMAM 为圆上除点 设 那么 解 圆经过极点O 设圆与极轴的另一个交点是A a OA cosq OM 在RtDAMO A O M OA q r q r A 能否写出对应直角坐标方程 两种方程能不能互化 C a 0 O x 圆的极坐标方程 M 思路分析 1 任取一点 标出 与 2 找出边角共存的三角形 3 列出三角形的边角关系式 4 对特殊点作检验 例1 已知圆O的半径为r 建立怎样的坐标系 可以使圆的极坐标方程更简单 求下列圆的极坐标方程 中心在极点 半径为3 中心在 a 0 半径为a 中心在 a 2 半径为a 3 a 若r a 2acos A 2asin 中心在 a 半径为a A 练习3 以极坐标系中的点 1 1 为圆心 1为半径的圆的方程是 C A 极坐标方程分别是 cos 和 sin 的两个圆的圆心距是多少 例1 直线的极坐标方程 答 与直角坐标系里的情况一样 求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点 的坐标 与 之间的关系 然后列出方程 0 再化简并讨论 怎样求曲线的极坐标方程 例题1 求过极点 倾角为的射线的极坐标方程 分析 如图 所求的射线上任一点的极角都是 其 极径可以取任意的非负数 故所求 直线的极坐标方程为 新课讲授 1 求过极点 倾角为的射线的极坐标方程 易得 思考 2 求过极点 倾角为的直线的极坐标方程 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来 极坐标系里的直线表示起来很不方便 要用两条射线组合而成 原因在哪 为了弥补这个不足 可以考虑允许极径可以取全体实数 则上面的直线的极坐标方程可以表示为 和 例题2 求过点A a 0 a 0 且垂直于极轴的直线L的极坐标方程 解 如图 设点 为直线L上除点A外的任意一点 连接OM o x A M 在中有 即 可以验证 点A的坐标也满足上式 a 求直线的极坐标方程步骤 1 根据题意画出草图 2 设点是直线上任意一点 3 连接MO 4 根据几何条件建立关于的方程 并化简 5 检验并确认所得的方程即为所求 o A M a 例题3设点P的极坐标为 直线过点P且与极轴所成的角为 求直线的极坐标方程 o x M P 则由点P的极坐标知 在中 由正弦定理得 显然点P的坐标也是它的解 小结