选矿过程模拟与优化-第三章插值.ppt

第三章插值模型 3 1插值法的基本思想 一 为何要建立插值模型根据一组试验数据 我们可以用回归的方法建立经验模型 但在实际问题中 采用这种方法建立经验模型往往比较麻烦 一是由于有时难以找到明显合适的解析表达式 二是由于即使找到了合适的数学表达式 但求解非常困难 所以在许多情况下 往往采用插值法建立相应的插值模型 以求得问题的近似解 二 插值法的基本思想1 概念插值就是从一组离散的数据中 求出某些需要的中间值 例如有一组离散数据 其中点称为结点 是它的函数值 若用表示它的函数 未知 插值就是在这个函数表中再插进一些所需的中间值 2 基本思想 1 设法构造一个简单函数作为该函数的近似式 2 利用 若已知插值点 求的近似值 3 插值方法插值所用的简单函数一般都是代数多项式 可以用以下几种方法来建立 1 利用离散数据中的任意两点 建立一次插值多项式 这种方法称为线性插值 2 利用其中任意三点 建立二项插值多项式 这种方法称为抛物线插值 3 顺序选取三点 建立彼此有联系的三次多项式 这种方法称为样条插值 4 如果利用全部N 1点 建立N次多项式 则称为高阶插值 4 插值模型的特点 1 插值模型虽然是原函数的近似表达式 但在插值结点处 原函数值与插值函数值是相等的 2 插值法主要是用在一元函数的计算中 3 插值法只能用于内插 若要进行外插 需十分慎重 因为插值函数是在结点范围内建立的 超出这个范围 就很难保证准确性 4 插值多项式的最高阶次m应比插值结点N小1 若要建立更低阶次的多项式作为解析表达式 就应建立分段插值 3 2线性插值一 线性插值模型建立线性插值是最简单的插值 它仅需要二个点数据 建立直线方程来近似代替原函数 然后在二点之间 区间 进行插值 在选煤模拟过程中 常常碰到一些试验数据 如筛分 浮沉等一些表格函数 如果数据间隔小 则可以用线性插值解决 设所建立的直线方程为 根据插值模型特点 在结点中选取与插值点相邻的两点 作为插值区间 根据解析几何可在两点之间建立直线方程 并且有 这样 利用上式 就可以计算0 1两点之间任一插值点x的函数值 二 线性插值算法分段插值的方法 实质上是在众多结点中根据插值点优选出所需的结点 一旦最优构模结点选定后 就变为相应的多项式插值问题 假定给出N 1对列表函数 它们有k个区间 k 1 2 n 给定插值点U 求对应的插值函数V 如果 则优选的结点为 使用计算机计算时 可根据插值点u自动选定插值结点 算法 Fork 1TonDo假定给出N 1对列表函数 它们有k个区间 k 1 2 n 给定插值点U 求对应的插值函数V 如果且则优选的结点为 子程序 FORK 1TONIFX K U 0THENX0 X K 1 Y0 Y K 1 X1 X K Y1 Y K NEXTKV Y0 Y1 Y0 U X0 X1 X0 RETURN 3 3抛物线 一元三点 和拉格朗日插值模型线性插值仅仅和用两个点的数据 精度自然一般很低 为了改善精度 我们可试图充分利用得到的数据 构造高阶多项式插值模型 一 抛物线插值a 过渡 上节中所构造的线性插值模型为 变化后 令则上式可写成 当时 当时 与称为基本插值多项式 与通过线性组合可以构造成一元插值多项式 b 现在我们来讨论抛物线插值模型假如我们有原函数三个点的列表函数 按基本多项式插值研究方法 设所求的抛物线方程形式为 根据插值思想 该方程应满足条件 那么所构造的二次基本多项式应满足对第一个多项式 而都是x的二次函数 中必含有和两个因子 令用代入上式 同时因为所以 则得到 同理构造基本二次多项式 使其满足条件 则有 其线性组合为 即抛物线插值模型为 二 一元三点插值算法 1 同样假定给出N 1对列表函数 假定给出N 1对列表函数 它们有k个区间 k 1 2 n 给定插值点U 求对应的插值函数V 优选构模结点有三种情况 若 则选三点 若 则应取三点 若 又可分两种情况 当u靠近时 则选 当u靠近时 则选 2 子程序 拉格朗日一元三点插值子程序K 0 WH1LEDOK K 1 IFK N 1THENK N 2 ELSEIFK0THENIFTHENK K 1 三 拉格朗日插值模型从一元二点 一元三点插值模型的构造中 找出规律加以推广 1 关于基本插值多项式一元二点基本插值多项式中 其中一元三点基本插值多项式中 2 关于插值模型一元二点中 一元三点中 推广到一元k点应为 由此可以得到拉格朗日插值模型为 对N 1个结点有 其中不难看出 一元二点 一元三点插值模型是拉格朗日插值模型在时的特例 拉格朗日插值模型的优点在于能充分利用多点数据信息 但多项式阶数越高 越难于计算 同时精度又不一定提高 所以在处理实际问题时 我们则更多地采用分段插值办法 四 拉格朗日插值算法 1 拉格朗日插值设给定函数的n 1个数据点 定义的插值基函数或插值多项式为 易知 令 则 这说明n次多项式正好经过全部数据点 因此就是要求的插值多项式 称形如 式的多项式为拉格朗日多项式 2 算法对做循环对做循环若 则 3 程序TYPEARR ARRAY 1 N ofreal ProcedupeLagran N integer x y ARR X1 real vary1 real LABELEXIT VarEPS A real I j k integer BeginEPS 1 0E 30 y1 0 0 Fori 1toNdoBeginA 1 0 Forj 1toNdoBegin IF JI THENIF ABS X i X j EPS THENBEGINWriteln 数据点有误 GOTOEXITENDELSEA A x1 x j x i x j END EXIT END END 例 给定列表函数求时的五位数近似插值P 23 解 作业3 某厂原煤浮沉资料如下 试分别用线性插值 拉格朗日一元三点插值和拉格朗日插值计算密度为1 35 1 45和1 55时的浮物累积产率和灰分 3 4样条插值的应用1 为何要建立样条插值分段插值的缺点是在连接处不能保证光滑地过渡 如果采用其插值结果绘制曲线 则很难保证曲线光滑 用高阶插值虽可弥补这个缺点 但因次数越高 计算越繁 误差往往也大 要保证连接处有一定的光滑性 一般采用样条插值 2 什么是样条插值样条插值是一种改进的分段插值 它在每个由相邻节点组成的小区间 都构造一个三次或两次函数 为了在连接处保持光滑 在节点上保持一阶连续导数 3 三次样条函数的建立设给定节点的序列为 其中 要求构造一个函数 使其满足三次样条函数的三个条件 1 函数通过相应的节点 即 2 在区间 上 具有一阶和二阶连续导数 3 在每个小区间 上 是x的三次多项式 根据上述条件可以导出三次样条函数表达式 设三次样条函数为 在 上 若要满足插值条件 则三次多项式可构造为 根据第一个条件 显然将 式对x求导 若用表示在处的一阶导数 则 将和分别代入 式得式中解上面方程组可得 的二阶导数为 于是有 因此同样有 在区间的右端点的二阶左导数为 而在子区间左端点的二阶右导数为 根据在连接点处二阶导数连续 则有 即 式中该式对所有连接点均成立 由此可以得到N 1个含的方程式 将a b值代入 式得 式中 插值节点及函数值 系数 表示在处的一阶导数 只要求出了 即求出了三次样条函数 可以通过二阶导数连续来求 注意 二个边界点的二阶导数取 即按自然样条处理 可得三条角线方程组 补充 追赶法 解三对角线方程组 简记 其中 当时 a b c 解 首先将系数矩阵A分解为二个矩阵 即A LU其中L为下三角矩阵 U为单位上三角矩阵 则有 其中为待定系数 比较上面矩阵两边和已知条件 可得分解的二个矩阵系数 求解等价于解二个三角形方程组 1 求y 2 求x从而得到解三对角线方程组的追赶法公式 1 计算的递推公式2 解3 解 我们将计算系数及过程称为 追 的过程 将计算方程组的解的过程称为 赶 的过程 3 4埃尔米特插值的应用一 插值思想方法 这种插值方法是在相邻节点之间建立一个三次多项式 这个多项式不但要通过节点 同时 在节点处的一阶导数应等于原函数的一阶导数 即 这样从几何上来看 近似式和原函数不但通过共同点 而且在这些点上的切线也相等 保证了插值函数所画出的曲线的光滑性 二 函数的建立设有N 1组数据 因此可以分为N个分段 在每个分段中 相邻两节点可以建立一个三次多项式 根据埃尔米特插值思想 即 通过结点 节点处一阶导数等于原函数一阶导数 则对相邻节点可列出下列方程组 其中 为原函数在二节点处导数值 上式中为实测数据 如果能知道原函数在节点处的一阶导数值 则系数a b c d就不难求出 三 函数一阶导数的计算可以利用通过该节点 及其左右相邻节点 和 来建立一个二次抛物线方程 用该抛物线方程在该节点 上的导数值作为原函数在该点的导数值 通过和三点的抛物线方程为 解此方程组 可得系数P q和r 可得这样把和代入上面式子 可得分段埃尔米特插值函数 因此 分段埃尔米特函数插值也可以保持插值结果一定的光滑度 而所要求的条件更宽松 计算也较为简便 四 二端点区间的插值计算由于埃尔米特插值函数计算时 最前一个节点和最后一个节点 其二次抛物线方程无法建立 因此 最前一个区间和最后一个区间不能用埃尔米特插值解决 通常可以采用一元三点插值方法计算 3 5插值模型与拟