虚功原理和位移计算.ppt

虚功原理和静定结构的位移计算 位移计算概述 一 概念 引起结构位移的原因 铁路工程技术规范规定 二 计算位移的目的 1 刚度要求 在工程上 吊车梁允许的挠度 1 600跨度 桥梁在竖向活载下 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 1 700和1 900跨度 高层建筑的最大位移 1 1000高度 最大层间位移 1 800层高 2 为超静定 动力和稳定计算做准备 功 力对物体作用的累计效果的度量功 力 力作用点沿力方向上的位移 实功 力在自身所产生的位移上所作的功 虚功 力在非自身所产生的位移上所作的功 变形体虚功原理 一 功 实功和虚功 力状态 位移状态 虚力状态 虚位移状态 注意 1 属同一体系 2 均为可能状态 即位移应满足变形协调条件 力状态应满足平衡条件 3 位移状态与力状态完全无关 二 广义力 广义位移 一个力系作的总虚功W FP FP 广义力 广义位移 例 1 作虚功的力系为一个集中力 2 作虚功的力系为一个集中力偶 3 作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶 4 作虚功的力系为两个等值反向的集中力 1 质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系 在某一位置处于平衡的必要和充分条件是 对于任何可能的虚位移 作用于质点系的主动力所做虚功之和为零 也即 三 变形体的虚功原理 2 刚体系的虚位移原理 去掉约束而代以相应的反力 该反力便可看成外力 则有 刚体系处于平衡的必要和充分条件是 对于任何可能的虚位移 作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零 原理的表述 任何一个处于平衡状态的变形体 当发生任意一个虚位移时 变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We 恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和 Wi 也即恒有如下虚功方程成立 We Wi 3 变形体的虚功原理 任何一个处于平衡状态的变形体 当发生任意一个虚位移时 变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We 恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和 Wi 变形体虚功原理的证明 1 利用变形连续性条件计算所有微段的外力虚功之和W 微段外力功dW dWe dWn 所有微段的外力功之和 W dWe dWn dWe We 2 利用平衡条件条件计算所有微段的外力虚功之和W 微段外力功dW dWg dWi dWi 所有微段的外力功之和 W dWi Wi 故有 We Wi成立 注意几个问题 1 虚功原理里存在两个状态 力状态必须满足平衡条件 位移状态必须满足协调条件 2 原理的证明表明 原理适用于任何 线性和非线性 的变形体 适用于任何结构 3 原理可有两种应用 实际待分析的平衡力状态 虚设的协调位移状态 将平衡问题化为几何问题来求解 实际待分析的协调位移状态 虚设的平衡力状态 将位移分析化为平衡问题来求解 4 变形体虚功原理表达式 FP FN ds FQ ds M ds 结构位移计算一般公式 即为结构位移计算的一般公式 虚设的力状态 荷载作用下结构位移计算 对上图直杆结构 具体到结构型式 例1求下图所示悬臂梁结构B点的垂直位移 已知杆件的EI EA GA 例2求下图所示桁架结构B点的水平位移 已知各根杆件的EA相同 4 4结构位移计算的图乘法 4 4结构位移计算的图乘法 简单回顾 本章计算位移的方法 虚单位荷载法 虚力原理 荷载作用下 梁和刚架主要考虑弯曲变形 荷载作用下结构位移计算基本公式 问题 积分运算太复杂 可否简化计算 如果可以简化 需要满足什么条件 4 4结构位移计算的图乘法 图乘法推导 图乘法公式 公式应用注意 杆段必须是等截面直杆 两个图形必须有一直线图形 且y0取自该直线图形 对折线图形须分段考虑 复杂图形可分解为简单图形 正负号规则 两弯矩图在杆件同侧时乘积Ay0取正值 4 4结构位移计算的图乘法 常见图形的面积和形心位置 公式应用注意 杆段必须是等截面直杆 两个图形必须有一直线图形 且y0取自该直线图形 对折线图形须分段考虑 复杂图形可分解为简单图形 正负号规则 两弯矩图在杆件同侧时乘积Ay0取正值 4 4结构位移计算的图乘法 1 求 公式应用举例 注意图形的选取问题 4 4结构位移计算的图乘法 公式应用举例 2 求 注意由直线组成的折线问题 4 4结构位移计算的图乘法 公式应用举例 3 求 可将复杂图形分解成几个简单图形 本次课小结 4 4结构位移计算的图乘法 下次课内容 注意图形的选取问题 由直线组成的折线要分段考虑 可将复杂图形分解成几个简单图形 曲杆结构的位移如何计算 空间结构的位移如何计算 静定结构支座移动时的位移计算 变形体虚功方程为 We Wi 其中 计算公式为 例1 求 解 构造虚设力状态 解 构造虚设力状态 静定结构温度变化时的位移计算 变形体虚功方程 We Wi 外力虚功 We 1 kP 在温度作用下 内力虚功 关键是求出温度作用下产生的微段变形 设温度沿杆件截面高度线性变化 杆轴温度 上 下边缘的温差 线膨胀系数为 微段的温度变形分析 无剪应变 若 温度引起的位移计算公式 对等截面直杆 上式中的正 负号 若和使杆件的同一边产生拉伸变形 其乘积为正 例 刚架施工时温度为20 试求冬季外侧温度为 10 内侧温度为0时A点的竖向位移 已知l 4m 各杆均为矩形截面杆 高度h 0 4m 解 构造虚拟状态 线弹性结构的互等定理 1 功的互等定理 方法一 由W1 W2 先加广义力FP1后再加广义力FP2 先加广义力FP2后再加广义力FP1 W1 W2 在线性变形体系中 I状态的外力在II状态位移上所做虚功 恒等于II状态外力在I状态位移上所做虚功 功的互等定理 线弹性结构的互等定理 方法二 由虚功原理 2 位移互等定理 单位广义力1引起 单位广义力2作用处沿广义力2方向的位移 恒等于单位广义力2引起 单位广义力1作用处沿广义力1方向的位移 位移互等定理 单位广义力是量纲为一的量 互等不仅是指数值相等 且量纲也相同 例如图示长l EI为常数的简支梁 数值 量纲都相等 3 反力互等定理 由功的互等定理有 支