虚功原理与静定结位移计算.ppt

结构力学第6章虚功原理与静定结构位移计算 主要内容 1基本概念 2虚功方程 3结构位移计算的一般公式 4静定结构在荷载作用下的位移计算 5图乘法 6由于支座位移与温度变化引起的位移计算 7线性变形体系的互等定理 6 1引言 1杆系结构的位移种类 位移的概念在材料力学中已讲过 水平位移 垂直位移 线位移 角位移 绝对位移 相对位移 相对线位移 相对角位移 广义位移 线位移 角位移 相对线位移及相对角位移统称为广义位移 2结构位移计算的目的 1 结构的刚度计算或校核 材力中已讲过 2 为结构的制造 架设 养护等采取的施工措施提供依据 如建筑工程中有一种称为建筑起拱的工艺 可以保证施工完毕后 屋架的下弦各杆接近于原设计的水平位置 而 max量及各杆的实际下料长度是多少 就必须解决结构的变形及位移计算 3 为超静定结构分析奠定基础 超静定结构分析时需添加方程 在力法中其补充方程是位移协调方程 因此必须了解位移的分析方法 3线性变形体系与非线性变形体系 线性变形体系 又称线弹性体系 是指位移与荷载呈线性关系的体系 且当荷载全部撤除后 位移将完全消失 它满足以下条件 1 应力与应变关系满足虎克定律 2 体系是几何不变的 且所有约束都是理想约束 3 小变形 位移是微小的 非线性变形体系 非线性变形体系 物理非线性 材料是非弹性的 几何非线性 大变形问题 边界非线性 接触问题 多重非线性 是指位移与荷载不呈线性关系的体系 4变形直杆的平衡条件和变形协调条件 在以前各章中 仅涉及静定结构的内力计算 采用平衡方程求解 研究问题时 把结构视为 刚体 在研究结构的变形及后面的超静定结构分析中 结构均视为变形体 研究问题一般需同时考虑平衡方程 物理方程及变形协调方程三个方面 对于线弹性杆系结构的物理方程非常简单 即虎克定律 6 1 下面重点讨论变形直杆的平衡方程和变形协调方程 1 平衡方程 平衡微分方程 如图 a 所示受一般荷载作用的直杆 处于平衡状态 图中q x 为分布的横向荷载 p x 为分布的轴向荷载 m x 为分布的力偶系 取任一微段dx如图 b 所示 由平衡方程 得 略去高阶微量 6 2 上式即为平衡微分方程 它反映了直杆内力与外力之间的关系 求解 6 2 式微分方程组的边界条件为 6 3 2 变形协调方程 利用 d e f 图易得 6 4 对于杆系结构而言 剪切变形相对较小 若忽略剪切变形 上式与材料力学中的结果相同 6 4 式称为变形协调方程 或称几何方程 对于几何相容的变形 还需满足位移边界条件 6 5 6 2虚功方程的两种应用 功的概念大家都比较熟悉 它包含了两个要素 力和位移 功定义为力的大小与其作用点 力所作用的物体 沿着力的方向相应位移的乘积 两者之间紧密相关 若做功的力与相应力的位移彼此独立无关时 这类的功通常称为虚功 例如 如图所示两种状态 彼此无关 位移状态中的位移并非由于第一种状态上的力所引起的 则第一种状态上的力在第二种状态的相应位移上所作的功 即为虚功 记为 一般情况可记为 6 6 1虚功的概念 上式中 Fpi1 i 1 2 n 为广义力 I2 i 1 2 n 为与广义力Fpi1相应的广义位移 应该指出 在虚功方程中 力状态与位移状态是彼此独立的 因此 不仅可把位移状态视为虚设的 也可把力状态视为虚设的 它们各有不同的应用 2虚功方程的两种应用 为了便于理解 我们首先讨论虚功方程在刚体上的应用 对于刚体体系 虚功方程叙述为 在具有理想约束的刚体体系上 如果力状态中的力系能够满足平衡条件 位移状态中的刚体位移能与约束几何相容 则力系中的全部外力在位移状态中相应的刚体位移上所做的虚功总和为必为零 即 6 7 1 虚设位移状态 求未知力 虚功的应用之一 虚位移原理 如图 a 所示简支梁 现欲求B支座反力X 步骤如下 首先解除B支座的约束 以相应的未知力X代替 于是原结构变成了具有一个自由度的体系 它在荷载与未知力X的共同作用下处于平衡状态 使该体系产生与约束几何相容的虚位移 如图 c 所示 在图 b 所示的力状态与图 c 所示的位移状态之间建立虚功方程 a 这就是虚功方程的应用之一 虚位移原理 其特点是将一个静力问题转化为几何问题 a 由 a 易得 b 若在位移状态中令 x 1 则 a 式变为 象这样 沿未知力方向虚设单位位移的方法称为单位位移法 该方法在用机动法做梁的影响线时将会用到 2 虚设力状态 求位移 虚功方程的应用之二 虚力原理 如图 d 所示的静定梁 支座B处向下移动距离 现欲求D点的垂直位移 DV 求 DV 可设受力状态如图 e 所示 由虚功原理得 这就是虚功方程的应用之二 虚力原理 其特点是将一个几何问题转化为静力问题 若令 Fp 1 则 此时 称为单位荷载法 在求结构的位移时将会用到 同样可得 作业 用虚位移原理求图示梁的D截面的内力 6 3结构位移计算的一般公式 1变形直杆的外力虚功和虚变形能 内力虚功 的表达式 设受一般荷载作用的直杆如图 a 所示 变形直杆的位移状态如图 b 所示 任一微段受力如图 c 所示 该微段变形如图 d 所示 外力虚功 虚变形能 内力虚功 dx微段 6 8 2变形变形体系虚力原理 虚功原理应用之一 在一个变形体系上 其变形与位移协调并与约束几何相容的必要和充分条件是 对于任意满足平衡条件的虚力系 外力虚功等于内力虚功 即 6 10 注 虚力原理的证明 可参见杨弗康主编 结构力学 第三版 140页 3单位荷载法 我们知道 按照虚力原理建立的虚功方程 6 10 式中 外力虚功一项是虚设力系的外力与相应位移的乘积 因此 可以通过适当地选择虚拟荷载 把需求的位移 包括在外力虚功中 同时为了能直接得到所求位移 在虚功方程中不再包含其它未知位移 为此 在选择虚力系时 就应当在拟求位移 方向上设置虚拟荷载 而在其它地方不再设置荷载 并且为了计算方便 该虚拟荷载可取为无量纲的一个单位值 这一方法就是 6 2中的单位荷载法 例如 如图示桁架 假设由于温度变化使杆AB BC各伸长 l 1 2mm 使桁架发生了变形 求由此而引起的C点竖向位移 CV 对于本题 注意 正号表示所得位移 CV的方向与虚拟单位荷载的方向一致 若求AD杆的转角如何应用单位荷载法 应用虚力原理 建立虚功方程如下 由此得 4计算结构位移的一般公式 如图 a 所示的刚架 现欲求其K K方向的位移 由虚力原理得 上式为平面杆系结构位移计算的一般公式 它不仅适用于静定结构 而且适用于超静定结构 无论材料是否为线弹性的上式均适用 还可用于非荷载因素引起的位移计算 注意 上式所求的位移为广义位移 虚拟受力状态中的单位荷载是与之相应的广义力 6 4静定结构在荷载作用下的位移计算 1静定结构在荷载作用下位移计算公式 6 12 且上式中的微段变形 dx dx dx仅与荷载有关 对于线弹性变形 由材料力学知 上式中 FNP FQP和MP分别为实际状态中 dx微段所受到的轴力 剪力和弯矩 EA GA和EI分别为实际状态中 杆件的抗拉 抗剪和抗弯刚度 k为与截面形状有关的系数 上式中 S为截面上任一点y以上或以下面积对中性轴的静矩 b为截面上任一点y处的截面宽度 对于矩形截面1 2 圆形截面10 9 由于仅考虑荷载作用对结构变形的影响 因此有ci 0 6 11 式变为 6 13 将 6 13 式代入 6 12 式可得 对于线弹性变形有 6 14 在静定结构中 上式中 和FNP FQP MP等均可通过静力平衡条件求得 因此 可以利用上式确定静定结构在荷载作用下的位移 2应用特例 1 梁和刚架 特点 轴向和剪切变形一般很小 可以忽略不计 因此 6 15 2 桁架结构 特点 只有轴向的影响 且均为常数 因此 6 16 3 混合结构 特点 一些杆只有轴向 另一些杆主要承受弯矩 因此 6 17 4 拱结构 在拱结构中 当拱轴曲率为小曲率时 其位移可近似按 6 15 计算 仅在扁平拱中计算水平位移或当拱轴与合理拱轴线比较接近时 才考虑轴向变形对位移的影响 6 18 5 含有弹簧的混合结构 在含有弹簧的混合结构中 一些杆只有轴向 另一些杆主要承受弯矩 另外还存在一些非杆构件 弹簧 设线弹簧的刚度系数为kN 使线弹簧产生单位长度时所必须施加的力 弯曲弹簧 也称弹性铰 的刚度系数为kM 使弯曲弹簧产生单位转角时所必须施加的力矩 利用虚力原理易得 6 19 注 上式中FNP kN为任一线弹簧在荷载作用下的变形 MP kM为任一弯曲弹簧在荷载作用下的变形 例1如图示等截面圆弧曲杆AB 求B点垂直位移 V EI 常数 解 对于曲杆一般仅需考虑弯曲变形 曲线坐标