博弈论练习题part1.pdf

博弈论练习题 一 1 下面哪些问题适用博弈来模型化 1 石油输出国组织 OPEC 成员国选择其年产量 2 通用汽车公司向USX购买钢材 3 两厂商 一家制造螺钉 一家制造螺帽 是用公制还是英制 4 公司董事会为其总经理 CEO 设立一项期股安排 5 联合果品公司决定招募工人 6 一电力公司估计了未来10年对电力的需求后 决定是否购置一套 新的发电机组 问题1和3可以用博弈来模型化 二 博弈论与经济学的关系是什么 经济学的变化趋势是什么 答 1 博弈论与经济学的关系 1 博弈论在经济学中的应用最广泛 最成功 2 经济学家对博弈论的贡献越来越大 3 经济学和博弈论研究的模式是一样的 经济学和博弈论都强调个人 理性 即在给定的约束条件下追求效用最大化 2 经济学发展的几个趋势 博弈论成为主流经济学的基石 反映了经济学发展的几个趋势 1 经济学研究的对象越来越转向个体 2 经济学越来越转向人与人关系的研究 特别是人与人之间行为的相 互影响及作用 人们之间利益的一致与冲突 竞争与合作的研究 3 经济学越来越重视对信息的研究 特别是信息不对称对个人选择及 制度安排的影响 三 博弈论的构成要素有哪些 答 广义上讲博弈论则主要由以下五大要素构成 一 决策主体 Player 又称局中人或博弈方 指的是博弈中能独 立决策 独立行动并承担决策结果的个人或组织 二 策略空间 Strategy space 又称策略集 是指供参与者选择的 策略和行动空间 三 效用 Utility 也就是博弈者之间相互争夺的利益 博弈双方 或多方都是围绕一定利益展开的 因此博弈胜负的评判结果主要是靠策 略选择后的得失来衡量 四 次序 Orders 即各博弈方在决策时有先后之分 因为博弈方 在决策选择上要不时地调整改善 一定要十分注重次序轻重的问题 如 果决策的次序和实施时间不同 则博弈的结果必会有所差别 五 博弈均衡 博弈虽然是为了利益和胜利 但并非是利益尽占 而 是要遵循均衡理论 四 二人博弈有何特点 答 双人博弈 即有且只有两个参与人的博弈 称为双人博弈 有如 下一些特点 1 两参与人之间的关系并不总是相互对抗的 有时会出现利益一致的 情况 2 信息多的一方不能保证得益也较多 3 个人理性并不一定导致集体理性 五 如何理解完全信息与不完全信息 完美信息与不完美信息 答 1 完全信息与不完全信息 1 如果参与人完全了解所有参与人各种情况下的得益 支付函 数 称此参与人具有完全信息 2 如果参与人不完全了解其他参与人的得益 则该参与人具有不完 全信息 2 完美信息与不完美信息 1 在动态博弈中 若参与人完全了解自己行动之前的整个博弈过程 称此参与人具有完美信息 完美回忆 2 若参与人不完全了解自己行动之前的整个博弈过程 则该参与 人具有不完美信息 六 如何理解静态博弈与动态博弈 答 从行为的时间序列性 博弈论可分为两类 静态博弈 是指在博弈中 参与人同时选择或虽非同时选择但后行 动者并不知道先行动者采取了什么具体行动 动态博弈是指在博弈中 参与人的行动有先后顺序 且后行动者能 够观察到先行动者所选择的行动 例如 囚徒困境 就是同时决策的 属于静态博弈 而棋牌类游戏 等决策或行动有先后次序的 属于动态博弈 七 如何理解纳什均衡 占优均衡 反复剔除严格劣战略均衡与纳什 均衡的关系 答 1 纳什均衡的直观意义 在n人参与的博弈中 给定其他参与人战略的条件下 每个参与人 选择自己的最优战略 所有参与人选择的战略构成一个战略组合 所有 参与人的最优战略构成的战略组合 称为纳什均衡 纳什均衡是完全信 息静态博弈的解 2 纳什均衡的数学表达 有n个参与人的战略表述博弈 G S1 Sn u1 un 战略组合 是一个纳什均衡 如果对于每一个i 是给定其他参与人 选择 的情况下第i个参与人的最优战略 即 3 占优战略均衡 重复剔除占优均衡 纳什均衡的关系 1 每一个占优战略均衡 重复剔除占优均衡一定是纳什均衡 但并 非每一个纳什均衡都是占优战略均衡或重复剔除占优均衡 因为构成纳什均衡的唯一条件是参与人对其他参与人均衡战略的 最优选择 而占优战略均衡则要求它是对所有其他参与人的任何战略组 合的最优选择 则自然它也是对所有其他参与人的某个特定的战略组合 的最优选择 而重复剔除占优均衡则要求它是在重复剔除过程中剩下的 唯一的战略组合 2 纳什均衡一定是在重复剔除严格劣战略 不适合弱劣战略剔除 过程中没有被剔除掉的战略组合 但没有被剔除的战略组合不一定是纳 什均衡 除非它是唯一的 八 实际中如何分析预测博弈的结果 答 实际中描述一个博弈至少必须包括 参与人 战略 支付 而行动 与信息则是建筑材料 参与人 行动的结果合起来称为博弈规则 建模 者目的在于运用博弈的规则来确定均衡 博弈论练习题 二 1 构造具有下述性质的2 2博弈的例子 1 不存在纯战略纳什均衡 甲 2 33 3 2 43 4 乙 2 不存在弱帕累托优势战略组合 甲 2 41 1 1 22 4 乙 3 至少有两个纳什均衡 其中一个帕累托优于其它所有的战略组 合 甲 2 31 1 1 23 5 乙 4 至少有三个纳什均衡 甲 2 31 1 2 53 5 乙 二 不协调博弈 有一男一女 各自选择是看足球还是看时装表演 男的愿意看足 球 女的喜欢看时装 男的想和女方在一起 女的却想躲开男方 1 构造一个博弈矩阵来表示这个博弈 选择相应的数值以符合男 女的偏好 2 若女方先采取行动 将发生什么 3 该博弈中存在先动优势吗 4 在完全信息的静态博弈中 存在纯战略纳什均衡吗 答 1 女 足 球 时装 足球 10 06 10 0 05 7 男 时装 如支付矩阵所示 该博弈模型存在一个占优均衡 2 如果女方先采取行动 她将会为自己买一张时装票 为男友买一张 足球票 以达到效用最大 或者只买一张时装票给自己 3 该博弈中不存在先动优势 原因 即使男方存在先动优势 抢先购买两张足球票 女方也不会去看 球 即策略 足球 足球 不是纳什均衡 同理 若女方存在先动优 势 则她不会同时购买两张时装票 由于她想躲开男方 因此她会为自 己买一张时装票 同时为男方买一张足球票 或者只买一张时装票给自 己 即策略 时装 时装 不是纳什均衡 4 由纳什均衡的存在性定理可知 每一个有限博弈至少存在一个纳什 均衡 纯战略或混合战略的 因此 完全信息的静态博弈中 至少存 在一个纯策略的纳什均衡 三 变化的囚徒困境 在X与Y两囚徒博弈中 X有前科 故无论谁坦白或抵赖 X都至少 要比Y多判5年 构造一个博弈矩阵 并找出该博弈的纳什均衡 Y 坦 白 抵 赖 坦白 10 5 13 7 15 5 5 0 X 抵赖 构造博弈举矩阵如上图所示 该博弈有两个纳什均衡 即 坦白 坦白 抵赖 抵赖 四 有两个厂商的古诺模型 qi是厂商i的产量 Q q1 q2为市场总产 量 价格为产量的减函数 且p Q a Q 没有固定成本 但边际 成本不同 分别为c1和c2 如果0 ci a 2 问纳什均衡的产量各为多 少 如果c1 c2a c1 则纳什均衡的产量又为多少 解 两厂商均无固定成本 单位边际成本分别为C1 C2 则两厂商的 利润函数分别为 厂商1 厂商2 分别对u1 u2求偏导数并令其为零 则有 得到 q1 a c2 2c1 3 q2 a c1 2c2 3 即为纳什均衡的产量 此 时0 ci a 2 如果如果c1 c2a c1 此时q1 0 厂商1的均衡产量仍然为q1 a c2 2c1 3 q2 0 此时厂商2选择不生产 即产量为0 五 有如下博弈矩阵 Y1 Y2 Y3 X1 X2 X3 8 4 12 12 6 2 4 16 8 求解混合纳什均衡 解 设X选择策略X1 X2 X3的概率分别为P 1 P 2 P 3 则 有 Y选择Y1获得支付的期望值为 8P 1 12 P 2 4 P 3 1 Y选择Y2获得支付的期望值为 4P 1 6 P 2 12P 3 2 Y选择Y3获得支付的期望值为 12P 1 2 P 2 8P 3 3 由1 2 3 P 1 P 2 P 3 1 得到 P 1 5 12 P 2 1 4 P 3 1 3 同理 因为X的得意与Y的得意相等 则Y选择Y1 Y2 Y3的概率也分 别为 P 1 5 12 P 2 1 4 P 3 1 3 博弈论练习题 三 一 有一个两参与人的四阶段之间的动态博弈如下图所示 试找出全 部子博弈 讨论该博弈中的可信性问题 求子博弈完美纳什均衡战略 组合和博弈的结果 D U 4 3 3 6 8 5 2 2 2 2 1 2 1 2 5 3 2 4 子博弈1 子博弈2 子博弈3 动态博弈采用逆向归纳法 1 从子博弈1 如图 开始 2会选择其可以获得的最大支付的策略 3 6 2 子博弈2 如图 1会选择策略 4 3 以满足其收益最大化 的意愿 3 子博弈3 如图 2会选择策略 2 4 4 最后 子博弈4 如图 1会选择策略 U 5 3 由以上分析知该博弈可信 子博弈完美纳什均衡战略组合为 U 5 3 二 三寡头市场需求函数P 100 Q Q是三个厂商的产量之和 并且已 知三个厂商都有常数边际成本2 无固定成本 如果厂商1和2先同时 决定产量 厂商3根据厂商1 2的产量决策 问三厂商各自的产量和 利润是多少 答 1 首先考虑1 2厂商 由古诺模型 可知其产量 Q1 Q2 a c n 1 100 0 2 1 100 3 推到过程同第 2章习题4 2 然后考虑厂商3 利润U3 Q3 P Q3 100 Q1 Q2 Q3 100 3 Q3 Q3 Q3 对U3求导 令U3 0 解得 Q3 50 3 这样Q1 Q2 Q3都求出 然 后是U1 U2 U3 U3 Q3 P 50 3 50 3 2500 9 U1 U2 Q1 P 100 3 50 3 500 3 三 两次重复下面这个得益矩阵表示的两人静态博弈 问能否有一个精 炼纳什均衡战略组合 实现第一阶段的得益是 4 4 如能 给 出双方的战略 如不能 证明为什么不能 如果战略组合 x3 y1 的得益改为 1 5 会发生什么变化 至少能在部分阶段实 现 4 4 的条件是什么 Y Y1 Y2 Y3 X X1 X2 X3 3 10 05 0 2 11 23 1 1 20 14 4 答 1 该博弈有两个纯战略纳什均衡 X1 Y1 X2 Y2 支付 函数分别为 3 1 和 1 2 但对双方均有利的战略组合 X3 Y3 不是纳什均衡 因此在一次博弈中不可能出现 2 采用 触发战略 即首先试探合作 如果对方合作 则给予奖 励 如果对方不合作 则给予惩罚 我们先假设这种触发策略可行 则第一阶段合作两方的策略为 X3 Y3 支付为 4 4 第二阶段合作双方的策略为 X1 Y1 或 X2 Y2 此时支付分别为 3 1 和 1 2 达到纳什均衡 采用触发战略的两个参与人的战略是 参与人X的战略 第一次选X3 则参与人Y为了收益最大必定会选择 Y3 此时的策略为 X3 Y3 在种情况下 Y的收益总和分别为 4 2 6 或4 1 5 参与人Y的战略 第一次选择Y3 如果第一次的结果是 X3 Y3 则第二次选择Y1 相当于参与人给X第一次采取合作态度的奖 励 如果参与人X在第一次选择X1 则第二次选择Y2 相当于给参与人 X在第一次选择不合作态度给予惩罚 这两种情况下X的收益总和分别 为 4 3 7 5 1 6 选择合作可以使得X两次收益总和最大 所以X会 选择合作 3 综上所述 存在着精炼的纳什均衡使得第一个阶段的得意时 4 4 4 若战略组合 x3 y1 的得益改为 1 5 即支付矩阵如下 Y Y1 Y2 Y3 X X1 X2 X3 3 10 05 0 2 11 23 1 1 50 14 4 此时 采用触发战略的两个参与人的战略是 参与人X的战略 第一次选X3 若参与人为了收益最大会Y1 此时 的策略为 X3 Y1 则X在第二阶段选X1以报复Y 在种情况下 Y 的收益总和分别为5 1 6 若Y选择合作 则第一阶段策略组合为 X3 Y3 参与人X第二将诶段选择X1以对Y进行报复 此时参与人Y两阶 段的收益总和为4 1 5 小于不合作时的收益总和 因此参与人Y不会 选择合作 而会选择不合