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泊松过程 主讲教师段禅伦2008年秋季学期 硕士研究生学位课程 应用数学基础 演示文稿 Poissonprocess 第三章泊松过程 泊松过程是一类较为简单的时间连续 状态离散的随机过程 泊松过程在物理学 地质学 生物学 医学 天文学 服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用 3 1泊松过程的定义和例定义3 1称随机过程 N t t 0 为计数过程 若N t 表示到时刻t为止已发生的事件A的总数 且N t 满足下列条件 1 N t 0 2 N t 取正整数值 3 若s t 则N s N t 4 当s t时 N t N s 等于区间 s t 中发生的事件A的次数 泊松过程的定义和例 如果计数过程N t 在不相重叠的时间间隔内 事件A发生的次数是相互独立的 即若t1 t2 t3 t4则在区间 t1 t2 内事件A发生的次数N t2 N t1 与在 t3 t4 内事件A发生的次数N t4 N t3 相互独立 那么此时的计数过程N t 是独立增量过程 如果计数过程N t 在 t t s s 0 内 事件A发生的次数N t s N t 仅与时间差s有关 而与时刻t无关 则计数过程N t 是平稳增量过程 泊松过程是计数过程的最重要的类型之一 其定义是 定义3 2称计数过程 X t t 0 为具有参数 0的泊松过程 如果 X t t 0 满足下列条件 泊松过程的定义和例 1 X 0 0 2 X t 是独立增量过程 3 在任一长度为t的区间中 事件A发生的次数服从参数 0的泊松分布 即对任意s t 0 有P X t s X s n e t n 0 1 2 从条件 3 知 泊松过程是平稳增量过程且E X t t 由于 E X t t表示单位时间内事件A发生的平均个数 故称 为泊松过程的速率或强度 从定义3 2 我们看到 为了判断一个计数过程是泊松过程 必须证明它满足条件 1 2 和 3 条件 1 只是说明事件A的计数是从t 0时开始的 条件 2 通常可从我 泊松过程的定义和例 们对过程了解的情况去验证 然而条件 3 的验证是非常困难的 为了方便应用 以下我们再给出泊松过程的另一个定义 定义3 3称计数过程 X t t 0 为具有参数 0的泊松过程 如果 X t t 0 满足下列条件 1 X 0 0 2 X t 是独立 平稳增量过程 3 X t 满足下列两式 P X t h X t 1 h o h P X t h X t 2 o h 定义3 3中的条件 3 要求 在充分小的时间间隔内 最多有1个事件发生 而不能有2个或2个以上事件同时发 泊松过程的定义和例 生 这种假设对于许多物理现象比较容易得到满足 例3 1考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫 令X t 表示电话交换台在 0 t 时间段内收到的呼叫次数 则 X t t 0 满足定义3 3中的各个条件 故 X t t 0 是一个泊松过程 其实对于任意的0 t1 t2 tn 随机变量X t2 X t1 X t3 X t2 X tn X tn 1 分别表示 在时间段 t1 t2 t2 t3 tn 1 tn 内 电话交换台接到的呼叫次数 它们是相互独立的 所以随机过 X t t 0 是一个独立增量过程 而且对于任意的s t 随机变量X t X s 的分布可以认为仅与t s有关 故 X t t 0 是平稳独立增量过程 泊松过程的定义和例 例3 2考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客 如果记X t 为在时间 0 t 内到达售票窗口的旅客数 则计数过程 X t t 0 满足定义3 3中的各个条件 故是一个泊松过程 例3 3考虑机器在 t t h 时间段内发生故障的事件 若机器发生故障 立即修理后继续工作 则在 t t h 时间段内机器发生故障而停止工作的事件数 构成一个随机点过程 该过程可以用泊松过程进行描述 定理3 1泊松过程的两种定义 即定义3 2与定义3 3是等价的 证明 首先证明定义3 2蕴涵定义3 3 比较两条定义 由于定义3 2的条件 3 中蕴涵X t 为平 泊松过程的定义和例 稳增量过程 所以只需证明由定义3 2的条件 3 可以推出定义3 3的条件 3 由式P X t s X s n e t n 0 1 2 对充分小的h 有P X t h X t 1 P X h X 0 1 X h X 0 h e h h h 1 h o h h o h P X t h X t 2 P X h X 0 2 o h 泊松过程的定义和例 以下证明定义3 3蕴涵定义3 2 经比较 只需证明由定义3 3中后两式可以推出定义3 2的 3 式 为此令Pn t P X t n P X t X 0 n 根据定义3 3的 2 与 3 有P0 t h P X t h 0 P X t h X 0 0 P X t X 0 0 X t h X t 0 P X t X 0 0 P X t h X t 0 P0 t 1 h o h 所以 P0 t 令h 0取极限得P 0 t P0 t 或 泊松过程的定义和例 积分得lnP0 t t C即P0 t ke t 由于P0 0 P X 0 1 代入前式得P0 t e t 类似地 对于n 1 有Pn t h P X t h n P X t h X 0 n P X t X 0 n X t h X t 0 P X t X 0 n 1 X t h X t 1 P X t X 0 n j X t h X t j 根据定义3 3的 2 与 3 得Pn t h Pn t P0 h Pn 1 t P1 h o h 1 h Pn t hPn 1 t o h 于是 有 泊松过程的定义和例 Pn t Pn 1 t 令h 0取极限得P n t Pn t Pn 1 t 所以e t P n t Pn t e tPn 1 t 因此 e tPn t e tPn 1 t 当n 1时 得 e tP1 t e tP0 t e te t P1 t t c e t 泊松过程的定义和例 由于P1 0 0 代入上式得c 0 P1 t te t 以下用数学归纳法证明 Pn t e t成立 假设n 1时有结论 证对n有 P X t s X s n e t n 0 1 2 根据 e tPn t e tPn 1 t 式 有 e tPn t e te t 积分得e tPn t c 泊松过程的定义和例 由于Pn 0 P X 0 n 0 因而c 0 所以Pn t e t 由条件 2 X t 是独立 平稳增量过程 故有P X t s X s n e t n 0 1 2 故定义3 3蕴涵定义3 2 3 2泊松过程的基本性质1 数字特征根据泊松过程的定义 可以导出泊松过程的几个常用的数字特征 设 X t t 0 是泊松过程 对任意t s 0 及s t 泊松过程的基本性质 从定义3 2的 3 得E X t X s D X t X s t s 由于X 0 0 故mX t E X t E X t X 0 t 2X t D X t D X t X 0 t RX s t E X s X t E X s X t X s X s E X s X 0 X t X s E X s 2 E X s X 0 E X t X s D X s E X s 2 s t s s s 2 s t 1 P X t s X s n e t n 0 1 2 泊松过程的基本性质 BX s t RX s t mX s mX t s 一般地 泊松过程的协方差函数可以表示为BX s t min s t 泊松过程的特征函数是gX t E eiuX t 2 泊松过程的时间间隔与等待时间的分布如果以泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数 那么 顾客到来接受服务的时间间隔 顾客等待的排队时间等分布问题都需要进行研究 以下讨论泊松过程与时间有关的分布 设 X t t 0 是泊松过程 令X t 表示t时刻事件A发 泊松过程的基本性质 生 顾客出现 的次数 W1 W2 分别表示第一次 第二次 事件A发生的时间 Tn n 1 表示从第 n 1 次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔 如下图所示 通常称Wn为第n次事件A出现的时刻或第n次事件A的等待时间 Tn是第n个时间间隔 它们都是随机变量 如何利用泊松过程中事件A发生所对应的时间间隔关系研究各次事件间的时间间隔分布呢 定理3 2设 X t t 0 是具有参数 的泊松分布 Tn n 1 是对应的时间间隔序列 则随机变量Tn n 1 2 是独立同分布的均值为1 的指数分布 W1 W2 W3 Wn 1 Wn O T1 T2 T3 Tn 泊松过程的基本性质 证明 首先 由于事件 T1 t 发生泊松过程在区间 0 t 内没有事件发生 因而P T1 t P X t 0 e t 因此时为 t P T1 t 1 P T1 t 1 e t 求导得密度 所以T1是服从均值为1 的指数分布 导数为 e t 利用泊松过程的独立 平稳增量性质 有P T2 t T1 s P 在 s s t 内没有事件发生 T1 s P 在 s s t 内没有事件发生 P X t s X s 0 P X t X 0 0 e t 即 t P T2 t 1 P T2 t 1 e t 故T2也是服从均值为1 的指数分布 泊松过程的基本性质 对于任意n 1和t s1 s2 sn 1 0 有P Tn t T1 s1 Tn 1 sn 1 P X t s1 sn 1 X s1 s2 sn 1 0 P X t X 0 0 e t 即 t P Tn t 1 P Tn t 1 e t 可见对任意Tn n 1 其分布是均值为1 的指数分布 定理3 2说明 对于任意n 1 2 事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为 t P Tn t 其概率密度为 t 均值为1 方差为1 2 1 e t t 0 0 t 0 e t t 0 0 t 0 泊松过程的基本性质 定理3 2的结论是在平稳独立增量过程的假设前提下得到的 该假设的概率意义是指 过程在任何时刻都从头开始 即从任何时刻起 过程独立于先前已发生的一切 独立增量 且有与原过程完全一样的分布 平稳增量 其实 由指数分布无记忆性的特征 时间间隔的指数分布应该是在预料之中的 另一个感兴趣的问题是 等待时间Wn的分布 即第n次事件A到达的时间分布 因Wn Ti n 1 由定理3 2知 Wn是n个相互独立的指数分布随机变量和 故用特征函数方法 可得如下结论 泊松过程的基本性质 定理3 3设 Wn n 1 是与泊松过程 X t t 0 对应的一个等待时间序列 则Wn服从参数为n和 的 分布 其概率密度为定理3 3可用以下方法导出 注意到第n个事件在时刻t或之前发生到时间t已发生的事件数目至少是n 即X t nWn t 因此P Wn t P X t n 对该式求导 得Wn的密度函数 t e t e t e t 泊松过程的基本性质 Wn服从参数为n和 的 分布的密度函数式 亦称爱尔兰分布 它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度 电话呼叫 是一个泊松过程 相继出现的第i 1次和第i次电话呼叫的间距距离Ti Wi Wi 1 i 1 2 是一个连续型随机变量 它们都服从参数为 的指数分布 其概率密度为其等待时间Wn也都是连续型随机变量 服从 分布 其密度函数称爱尔兰分布 泊松过程的基本性质 又如若X t 表示在时间区间 0 t 内来到某商店的顾客数 X t 是参数为 的泊松过程 每个来到商店的顾客购买某些货物的概率为p 不买东西就离去的概率是1 p q 且每个顾客是否购买货物是相互独立的 令Y t 为 0 t 内购买货物的顾客数 则 Y t t 0 是参数为 p的泊松过程 由于P X t n 而P Y t m P X t n P Y t m X t n t m e qt 泊松过程的基本性质 Poisson过程与均匀分布的关系 设 X t t 0 是强度为 的泊松过程 若在时间区间 0 t 内仅有1个随机质点到来 记 为质点到达时间 则当s t时 有P s X t 1 te t 1P s X t 1 te t 1P X s 1 X t X s 0 s t 可见 随机变量 服从均匀分布 条件概率 P B A P AB P A 当P123公式中的n 1 n 0时的概率 以及X t X s X t s 0 对照均匀分布的分布函数 泊松过程的基本性质 3 到达时间的条件分布假设在 0 t 内事件A已经发生一次 如何确定这一事件到达时间W1的分布呢 由于泊松过程有平稳独立增量 所以可以认为 0 t 内长度相等的区间包含事件A的概率相同 即该事件的到达时间在 0 t 上服从均匀分布 事实上 对s t有P W1 s X t 1 泊松过程的基本性质 于是得分布函数 s 及分布密度函数 s 此结果可推广到一般的情况 定理3 4设 X t t 0 是泊松过程 已知在 0 t 内事件A发生n次 则这n次到达时间W1 W2 Wn与相应于n个 0 t 上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布 证明 令0 t1 t2 tn 1 t 且取hi充分小 使得对i 其它 泊松过程的基本性质 1 2 n有ti hi ti 1 则在给定X t n的条件下 有P t1 W1 t1 h1 tn Wn tn hn X t n P t1 W1 t1 h1 tn Wn tn hn X t n 令hi 0 便得W1 Wn在已知X t n的条件下的条件联合概率密度f t1 tn 因此 h1 hn 其它 泊松过程的基本性质 例3 4设在 0 t 内事件A已经发生n次且0 s t 对于0 k n 求P X s k X t n 解 利用条件概率和泊松分布得P X s k X t n 这是一个参数为n和s t的二项分布 泊松过程的基本性质 例3 5设在 0 t 内事件A已经发生n次 求第k k n 次事件A发生的时间Wk的条件概率密度函数 解 先求条件概率P s Wk s h X t n 然后关于s求导 当h充分小时 有P s Wk s h X t n P s Wk s h X t X s h n k P X t n P s Wk s h X t X s h n k e t t nn P s Wk s h P X t X s h n k e t t nn 将上式两边除以h 并令h 0取极限 得 P X t X s h n k e t t nn 泊松过程的基本性质 由定理3 3 及定义P X t X s n k 得 条件概率密度是一个Bata分布 例3 6设 X1 t t 0 和 X2 t t 0 是两个独立的泊松过程 它们在单位时间内平均出现的事件数 分别为 1和 2 记为过程X1 t 的第k次事件到达时间 为过程X2 t 的第1次事件到达时间 求P 即第一个泊松过程的第k次事件发生比第二个泊松过程的 泊松过程的基本性质 第1次事件发生早的概率 解 设的取值为x 的取值为y 由泊松过程等待时间的分布密度以及和X1 t 与X2 t 的相互独立性 f x y 知 x y y x o D D y x x 0 关于全 条件 期望公式 全 条件 期望公式对任意的随机变量X Y 有E E X Y E X 当 X Y 为离散型随机向量时 全期望公式的离散形式为 1 E X E X yj P Y yj 当 X Y 为连续型随机向量时 全期望公式的连续形式为 2 E X 证明 1 2 泊松过程的基本性质 例3 7仪器受到震动而引起损伤 若震动是按强度为 的泊松过程发生 第k次震动引起的损伤为Dk D1 D2 是独立同分布的随机变量列且与 N t t 0 独立 其中N t 表示 0 t 时间段仪器受到震动次数 假设仪器受到震动而引起的损伤随时间按指数减小 即如果震动的初始损伤为D 则震动之后经过时间t减小为De t 0 假设损伤是可叠加的 即在时刻t的损伤可表示为D t 其中 k为仪器受到第k次震动的时刻 求E D t 解 E D t E E E N t 全期望公式 泊松过程的基本性质 由于 由定理3 4知 在N t n的条件下 k k 1 2 n 是 0 t 上相互独立的均匀随机变量U k k 1 2 n的顺序统计量 故 所以 于是得 关于泊松过程的练习题 设顾客按强度为 的泊松过程到达 N t 表示在 0 t 中到达的第i类 i 1 2 顾客 设时刻s到达的顾客与其他顾客是独立的 属于第1类的概率为P s 属于第2类的概率为P 1 s 问N1 t 与N2 t 各是什么分布的随机变量 求P N1 t n N2 t m N t n m 解 由时刻s到达的顾客与其他顾客的独立性知 N1 t 与N2 t 相互独立 且分别是均值为 tp和 t 1 p 的泊松分布 式中的p P s ds 鉴于时刻s服从 0 t 上的均匀分布 所以将该条件加到时间s上有p P s ds 从事件N1 t n与N2 t m的独立性 知P N1 t n N2 t m N t n m 恰是n m重贝努利试验中第1类顾客出现n次的概率 故 关于泊松过程的练习题 P N1 t n N2 t m P N1 t n N2 t m N t n m P N t n m pn 1 p me t e tp e t 1 p M G 表示一个随机服务系统 M表示顾客到达是强度为 的泊松过程 G表示服务时间Y是独立同分布的随机变量 分布函数是G t 表示服务人员数 说明顾客到达后无须等待 确定服务系统的效率 解 以N1 t 记到时刻t已服务完的顾客数 N2 t 记到时刻t未服务完的顾客数 确定服务系统的效率 即计算到时刻t已服务完的顾客数与未服务完的顾客数的联合分布 关于泊松过程的练习题 以及N1 t 和N2 t 的均值函数 设顾客在时刻s到达 s t 到时刻t已服务完 即服务时间Y t s 因而其概率为G t s 即P s 于是E N1 t tp G t s ds G y dy E N2 t t 1 p 1 G y dy t G y dy 某机构从上午8时开始有无穷多人排队等候服务 设只有1名工作人员 每人接受服务的时间是独立的且服从均值位20分钟的指数分布 问 1 到中午12时 平均有多少人离去 2 有9人接受服务的概率是多少 解 既然时间间隔是服从均值为1 3小时 20分钟 的指数 关于泊松过程的练习题 分布 那离去人数N t 就是强度为3 以时计 的泊松过程 若以8时为零时刻 则到12时离去的人数平均是12名 故 1 P N 4 N 0 n e 12 2 有9人接受服务的概率P N 4 N 0 9 e 12 乘客以强度为 A的泊松过程到达飞机A 从t 0开始 当飞机有NA个乘客时就起飞 与此独立的是乘客以强度为 B的泊松过程到达飞机B 从t 0开始 当飞机有NB个乘客时起飞 1 写出飞机A在飞机B之后起飞的概率式 2 对NA NB和 A B的情形 计算 1 中的概率 关于泊松过程的练习题 解 1 以TA记飞机A的第NA个乘客到达的时刻 TB记飞机B的第NB个乘客到达的时刻 则飞机A在飞机B之后起飞的概率为P TA TB 泊松过程X t 到达时间的概率密度函数为 t t t 由独立性 得P TA TB e t t 0 0 t 0 A t 0 0 t 0 B t 0 0 t 0 关于泊松过程的练习题 2 中条件即 此时由对称性 有P TA TB 1 2 设乘客按强度为 的泊松过程来到某火车站 火车在时刻t起程 计算在时间 0 t 内到达的乘客候车时间总和的期望值 即求E t Ti 其中Ti是第i个乘客到达的时刻 解 对N t 取条件n 有E t Ti N t n E t Ti N t n nt E Ti N t n 以U1 U2 Un记在 0 t 上n个均匀分布 且相互独立的 关于泊松过程的练习题 随机变量 则E Ti N t n E Ui 所以E ti Ti N t n nt 从而E t Ti E E t Ti N t n E N t 设顾客到某商场的过程是泊松过程 已知平均每小时有30人到达 求所给事件的概率 两个顾客相继到达的时间间隔 1 超过2分钟 2 短于4分钟 3 在1分到3分钟之间 解 由题意 顾客到达数N t 是强度为 的泊松过程 因而 关于泊松过程的练习题 顾客到达的时间间隔 Xn n 1 服从参数为 的指数分布 fX t 30e 30 x x 0 故有 1 P X 2 60 30e 30 xdx 0 368 2 P X 4 60 30e 30 xdx 0 865 3 P 1 60 X 3 60 30e 30 xdx 0 384 设顾客以每分钟2人的速率到达某商场 且顾客流为泊松流 求在2分钟内到达的顾客人数不超过3人的概率 解 记 N t t 0 为每分钟到达商场的顾客人数的泊松过程 据题意 2 由P N t k e t 将t 2 2代入上式得 P N 2 k e 4 关于泊松过程的练习题 于是 P N 2 3 P N 2 0 P N 2 1 P N 2 2 P N 2 3 e 4 4e 4 8e 4 e 4 e 4 设X t 与Y t t 0 是强度分别为 X和 Y的泊松过程 证明 在X t 的任意两个相邻事件之间的时间间隔内 Y t 恰好有k个事件发生的概率p k 0 1 2 证明 设X t 的两个相邻事件的时间间隔为 由独立平稳增量性得P Y t Y t k X t 的时间间隔为 的概率密度是 关于泊松过程的练习题 X 0 0 其它 由于X t 是泊松过程 所以Y t 恰好有k个事件发生的概率p Xd kd fX 非齐次泊松过程 3 3非齐次泊松过程非齐次泊松过程是推广的泊松过程 这种过程允许时刻t的来到强度 或速率 是t的函数 定义3 4称计数过程 X t t 0 为具有跳跃强度函数 t 的非齐次泊松过程 如果满足条件 1 X 0 0 2 X t 是独立增量过程 3 P X t h X t 1 t h o h P X t h X t 2 o h 非齐次泊松过程的均值函数为mX t 以下定理描述了非齐次泊松过程的概率分布 定理3 5设 X t t 0 是具有均值函数mX t 的 非齐次泊松过程 非齐次泊松过程 则有P X t s X t n n 0或P X t n n 0 证明 对固定t定义Pn s P X t s X t n 则有P0 s h P X t s h X t 0 P 在 t t s 中没事件 在 t s t s h 中没事件 P 在 t t s 中没事件 P 在 t s t s h 中没事件 由定义3 4的 2 非齐次泊松过程 P0 s 1 t s h o h 由定理3 4的 3 于是 有令h 0取极限 得或 或 同理Pn s h P X t s h X t n P t t s 中有n个事件 t s t s h 中没事件 P t t s 中有n 1个事件 t s t s h 中有1个事件 非齐次泊松过程 P t t s 中有n 2个事件 t s t s h 中有2个事件 P t t s 中没有事件 t s t s h 中有n个事件 Pn s 1 t s h o h Pn 1 s t s h o h 因此有 t s Pn s t s Pn 1 s 令h 0取极限 得 t s Pn s t s Pn 1 s 当n 1时 有 t s P1 s t s P0 s t s P1 s t s 非齐次泊松过程 前式是关于P1 s 的一阶线性微分方程 利用初始条件P1 0 0 解得P1 s mX t s mX t 再运用归纳法 即可证得定理结论 例3 8设 X t t 0 是具有跳跃强度 t 的非齐次泊松过程 0 求E X t 和D X t 解 由定理3 5及泊松过程期望与方差相等 知E X t mX t D X t 例3 9设某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出 乘客流量是 5时按平均乘客200人 时计算 5时至8时乘客平均到达率线性增加 8时到达率为1400人 时 8时至18 非齐次泊松过程 时保持平均到达率不变 18时到21时从到达率1400人 时按线性下降 到21时为200人 时 假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的 求12时至14时有2000人来站乘车的概率 并求这两小时内来站乘车人数的数学期望 解 将时间5时至21时平移为0到16时 依题意得乘客到达率为 t 乘客到达率与时间关系如右上图所示 由题意 乘客数的变化可用非齐次泊松过程描述 从mX 9 mX 7 2800 200 400t 0 t 3 1400 3 t 13 1400 400 t 13 13 t 16 t t 1400 200 3 13 16 o 非齐次泊松过程 知 在12时至14时有2000名乘客到达的概率P X 9 X 7 2000 12时至14时有2000名乘客的数学期望是mX 9 mX 7 2800 人 非齐次泊松过程与泊松过程有何不同 又有何联系 非齐次泊松过程与泊松过程的不同是 非齐次泊松过程的强度 不再是常数 它与t有关 因而非齐次泊松过程不具有平稳增量性 非齐次泊松过程反映了一类其变化与时间有关的过程 例如设备的故障率与使用年限有关 放射性物质的衰变速度与衰变时间有关等 利用下述定理 可将非齐次泊松过程问题转化到泊松过 复合泊松过程 程中进行讨论 设 N t t 0 是强度为 t 的非齐次泊松过程 对任意t 0 令N t N 1 t 则 N t t 0 是强度为1的泊松过程 这里 t u du 反过来 当强度 t 有界时 也可以由强度为 的泊松过程构造出一个强度函数为 t 的非齐次泊松过程 3 4复合泊松过程定义3 5设 N t t 0 是强度为 的泊松过程 Yk k 1 2 是一列独立同分布随机变量 且与 N t t 0 独立 令X t t 0 则称 X t t 0 为复合泊松过程 复合泊松过程 例3 10设N t 是在时间段 0 t 内到某商店的顾客人数 N t t 0 是泊松过程 若Yk是第k个顾客在商店所花的钱数 则 Yk k 1 2 是独立同分布随机变量序列 且与 N t t 0 独立 记X t 为该商店在 0 t 时间段内的营业额 则X t t 0是一个复合泊松过程 定理3 6设X t t 0是复合泊松过程 则 1 X t t 0 是独立增量过程 2 X t 的特征函数为gX t u 式中gY u 是随机变量Y1的特征函数 是事件的到达率 复合泊松过程 3 若E 则E X t tEY1 D X t tE 证明 1 令0 t0 t1 tm 则X tk X tk 1 k 1 2 m 由于 Yk k 1 2 是一列独立同分布随机变量 所以X t 具有独立增量性 2 因为gX t E E N t n P N t n E N t n E 复合泊松过程 gY u n 3 由全期望公式E X t E E X t N t 及假设知E X t N t n E Yi N t n E Yi N t n E Yi nE Y1 所以 E X t E E X t N t E N t E Y1 tE Y1 利用特征函数性质 5 即特征函数与矩的关系 知 特征函数在0点的值gX 0 E ei0X E 1 1 E X2 t 复合泊松过程 t 2E2 Y1 tE Y12 D X t E X2 t E2 X t t 2E2 Y1 tE Y12 tE Y1 2 tE Y12 复合泊松过程由一列随机变量 Yn 的和而构成 当Yn 1时 X t N t X t 即为通常的泊松过程 复合泊松过程的定义要求 分析具体问题时 首先要确定一个泊松过程与一个随机变量序列 然后要验证随机变量序列以及随机变量序列与泊松过程的独立性 只有在这些条件都具备后 方可对该问题进行处理或计算 复合泊松过程 例3 11设移民到某地定居的户数是一泊松过程 已知平均每周有2户定居 设每户的人口数是一随机变量 而且一户有4人的概率为1 6 有3人的概率是1 3 有2人的概率为1 3 有1人的概率是1 6 且知各户的人口数相互独立 求 0 t 周内到该地定居的移民人数的数学期望与方差 解 记Yi为第i户的人口数 Yi 相互独立 移民总人数X t Yi是一复合泊松过程 依题意 2 E Y1 4 1 6 3 1 3 2 1 3 1 1 6 5 2 E Y12 42 1 6 32 1 3 22 1 3 12 1 6 43 6 所以 E X t tE Y1 2t 5 2 5t D X t tE Y12 2t43 6 43t 3 条件泊松过程 3 5条件泊松过程设 是具有分布G的正值随机变量 N t t 0 是一计数过程 如果在已知 的条件下 N t t 0 是参数为 的泊松过程 则称 N t t 0 为条件泊松过程 若 的分布是G 则随机选择一个个体在长度为t的时间区间内发生n次的概率是P N t s N s n e tdG 设 N t t 0 是条件泊松过程 且E 2 则E N t tE D N t tD tE 在N t n的条件下 的分布P x N t n e tdG e tdG 条件泊松过程 这是因为P d N t n 对很小的d e tdG e tdG 于是P x N t n 便有上页最后一行的分布表示式 条件泊松分布有什么特点呢 条件泊松分布 描述的是一个有着 风险 参数 的个体发生某一事件的概率 例如有一个总体 它的个体存在某种差异 如参加人寿保险的人发生事故的倾向性不同 此时 可以将概率式P N t s N s n e t n 0 1 2 解释为给定 时 N t 的条件分布Pn t 条件泊松过程 在风险理论中 常用条件泊松过程作为意外事件出现的模型 其强度参数 未知 用随机变量 表示 但经过一段时间后 即可用事件发生的概率来表示 就有了确定的参数 例3 12设某地区在某季节地震发生的平均强度是随机变量 P 1 p P 2 1 p 到t时为止的地震次数是一个条件泊松过程 求该地区该季节在 0 t 时间内出现n次地震的条件下地震强度为 1的概率 并求在N t n的条件下 从t开始到下一个地震出现的条件分布 解 该过程是条件泊松过程 因为 是离散型 故P 1 N t n 过滤的泊松过程 p 1t n p 1t n 1 p 2t n P 从t开始带下次地震出现时间 x N t n 3 6过滤的泊松过程设有一泊松分布的冲激脉冲串 经过一线性时不变滤波器 则滤波器的输出是一随机过程 X t t 0 X t h t Ui 式中h t 代表线性时不变滤波器 即系统 的冲激响应 Ui代表第i个冲激脉冲出现的时间 即在时间区间 0 t 内发生的事件的无序到达时刻 是随机变量 N t 表示 0 t 内进入滤波器输入端冲激脉冲的个数 它服从泊松分布 过滤的泊松过程 P N t k e t k 0 1 2 N t 服从泊松分布 在 0 t 内进入滤波器输入端的 N t k个脉冲出现的时间均为独立同分布的随机变量 该随机变量均匀分布于 0 t 内 即 u 则称 式的随机过程 X t t 0 为过滤的泊松过程 用温度限制的二极管为例 说明过滤的泊松过程 1 在 0 t 内从阴极发射的电子数符合泊松分布 2 假定二极管为平板型二极管 极间距离为d 板极对阴极的电位差为v0 0 u t 0 其它u值 x d x B O V0 阴极 阳极 过滤的泊松过程 研究在没有空间电荷的条件下 一个发射电子从阴极发射后至到达板极前 在电路内引起的电流脉冲i t 的波流 可得i t 其中电子从阴极出发到达板极的渡越时间 n q0为电子电荷 m为电子质量 3 因而温度限制二极管的板流 霰弹噪声 I t i t Ui 其中i t 如上所给 Ui为第i个电子的发射时刻 是在 0 t 内服从均匀分布的随机变量 对照定义知 温度限制二极管的板流I t 是一过滤的泊松过程 2q0 0 t 0 0 其它 过滤的泊松过程 例3 13设 X t t 0 并有X t h t Ui 其中在时刻Ui发生的事件 在时刻t的输出为h t Ui 在时间间隔 0 t 内发生的事件数 由泊松随机变量N t 描述 Ui是在 0 t 内发生事件的无序到达时刻 这个过程是滤波泊松过程 求其特征函数gX t v 解 由E Y E E Y X 及特征函数定义 有gX t v E eivX t E E eivX t N t E eivX t N t k P N t k 而E eivX t N t k E 因为Ui是独立同分布的随机变量 故有E eivX t N t k E E k 过滤的泊松过程 又在 0 内的均匀分布 得E dui du 将结果代入gX t v 得gX t v du ke t e t 一般 过滤的泊松过程的特征函数gX t v 过滤的泊松过程 例3 14求温度限制二极管的霰弹噪声I t 的平均值 相关函数 协方差函数和方差 解 温度限制二极管的霰弹噪声I t 即温度限制二极管的板流 它是一个过滤的泊松过程 有E I t i t dt 2q0dt q0 其中 是单位时间内发射的平均电子数 q0是电子电荷 E I t 代表电流的平均值 一般 过滤的泊松过程的期望 均值 函数E X t h u du I t 的相关函数RI t t i t i t dt 2 h t dt 2 过滤的泊松过程 i t i t dt q0 2 一般 过滤的泊松过程的相关函数RX t t h u h u du 2 h u du 2 I t 的协方差函数BI t t i t i t dt 一般 过滤的泊松过程的协方差函数BX t t h u h u du I t 的方差函数D I t i2 t dt 一般 过滤的泊松过程的方差函数D X t h2 u du 维纳过程 3 7维纳过程维纳 N Wiener 过程是布朗运动的数学模型 在随机过程理论及其应用中起着重要的作用 1827年 英国植物学家R Brown在显微镜下 观测漂浮在平静的液面上的微小粒子 发现它们不断进行着杂乱无章的运动 这种现象后来称之为布朗运动 1923年 美国数学家N Wiener开始把布朗运动作为作为随机过程来研究 以W t 表示运动中一微粒 质点 从时刻t 0到时刻t 0的位移的横坐标 同样也可以讨论纵坐标 且设W 0 0 根据爱因斯坦 Enisten 1905年提出的理论 微粒的这种运动 是由于受到大量的随机的 相互独立的分子碰撞的结果 于是 粒子在时段 s t 与相继两次碰撞的时间间隔相比是很大的量 上的位移可看作是许多微小位移的代数 维纳过程 和 依中心极限定理 W t W s 服从正态分布 而且 由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则碰撞所引起 因而在不相重叠的时间间隔内 碰撞的次数 大小和方向可假定是相互独立的 其次 液面处于平衡状态 所以粒子在一时段上位移的概率分布 可以认为只依赖于这时段的长度 而与观测的起始时刻无关 即W t 具有平稳增量 综上所述 便得维纳过程的数学模型 给定二阶矩过程 W t t 0 如果它满足1 具有平稳的独立增量 2 对任意的t s 0 W t W s 服从正态分布 3 对任意的t 0 E W t 0 则称此过程为维纳过程 维纳过程 右下图展示了维纳过程 W t t 0 的一条样本曲线 由1 可知 维纳过程是齐次的独立增量过程 而且它还是正态过程 因为 对任意正整数n和任意时刻t1 t2 tn t1 t2 tn 0 以及任意实数u1 u2 un 当记Uk 时 有根据1 和2 知该式是独立正态变量之和 所以它也是正态变量 由正态变量的线性变换不变性 即 n维随机变量 X1 X2 Xn 服从n维正态分布 X1 X2 Xn的任意线性组合t1X1 t2X2 tnXn服从一维正 t W t O 维纳过程 态分布 推知 W t1 W t2 W tn 是n维正态变量 亦即 W t t 0 是正态过程 W t t 0 是正态过程 其分布完全由均值函数和相关函数 或协方差函数 确定 根据条件3 E W t 0 另外可以证明 E Parzen ModernProbabilityTheoryandApplication NewYork 1960 DW t E W2 T 2t 其中 2称为维纳过程的参数 可通过实验观测值加以估计 由于独立增量过程的协方差函数可用方差函数表示为 BX s t DX min s t 所以维纳过程的协方差函数 相关函数 是 BW s t RW s t 2min s t 参数为 2的维纳过程 W t t 0 满足对任意的t 0 W t N 0 2t 除了布朗运动外 电子元器件在恒温下的热噪声也可归结为维纳过程 Laplace变换 在处理只取非负值的随机变量时 使用拉普拉斯变换比起特征函数来 有时更为方便 分布F的拉普拉斯变换定义为 s e sxdF x 式中复数s a ib a 0 正如特征函数一样 拉普拉斯变换惟一确定分布 我们也可以对任意函数定义拉氏变换 函数f t 的拉普拉斯变换定义为L s L f t e stf t dt 复数s a ib 倘若此积分存在 可证明L s 能够确定f t 只差一常数 拉普拉斯变换的反演公式f t L 1 L s L s estds t 0 a 0 当实变量复值函数f t 和f t 在t 0上除外有限的第一类间断点外连续 t 0 f t 0 f t 是有限阶时f t 存在 更新过程 3 8更新过程前面的讨论 说明了泊松过程是一种计数过程 在这类过程中两个连续出现事件间的时间间隔 是独立且同为指数分布的随机变量 一种自然的推广是它的相邻两个连续出现事件间的时间间隔是一个独立同分布的随机变量 其概率密度为f t 分布函数为F t 则称这类计数过程为更新过程 设 N t t 0 是一个计数过程 xn表示第n 1次事件和第n次事件间的时间间隔 n 1 定义3 6设 x1 x2 为一非负 独立 同分布的随机变量序列 则称计数过程 N t t 0 为更新过程 例如假如我们能无限地提供同类型灯泡 其寿命是彼此独 更新过程 立 同分布的随机变量 若每次使用一个灯泡 当该灯泡损坏后立即换上一个新的 则在时间 0 t 内损坏的灯泡数是一个更新过程 N t t 0 其中N t 表示在 0 t 时间内损坏的灯泡数 我们将通用事件与更新这两个词 因而可说第n次更新在时刻Sn发生 由于间隔是独立同分布的 所以在各个更新时刻此过程在概率意义上重新开始 我们将要回答的第一个问题是 在有限时间内是否会有无限多次更新发生 1 在有限的时间内只能出现有限次更新设Sn xi n 1 则S0 0 代表过程的起始点 更新过程 S1 x1 代表过程中第一次更新时刻 S2 x1 x2 代表过程中第二次更新时刻 Sn xi 代表过程中第n次更新时刻 设x1 x2 xn 的分布函数为F t 概率密度为f t 则随机变量Sn的概率密度为f t 的n次卷积 记 E xn n 1 2 由于xn为非负随机变量 也不恒为0 所以 0 且F 0 P xn 0 1 因Sn代表n次更新所花费的时间 故有N t max n Sn t 若在 0 t 内仅出现n次更新 说明Sn t 而t Sn 1 根据 S0 S1 S2 S3 x1 x2 x3 t 更新过程 强大数定律 当n 时 以概率1 鉴于 0 因而这意味着当n趋于无穷时 Sn方趋于无穷 而且 当Sn趋于无穷时 必然有n趋于无穷 这就说明在有限的时间内只能出现有限次更新 换言之 至多只有有限多个n能使Sn小于或等于t 可见当t为有限值时 有N t max n Sn t 2 N t 的概率分布 给定F t 或f t 计算N t 的概率分布 N t 的分布至少在理论上能得到 只要先注意到这么重要的关系 到时刻t为止的更新次