计算方法第1章(绪论).ppt

1 计算方法华中科技大学CAD中心 2 教材 计算方法 张诚坚 何南忠 高等教育出版社 计算方法简明教程 王能超高等教育出版社徐长发实用计算方法华中科技大学出版社 任选Matlab使用手册一本时间 32学时 20学时 12学时上机考核 课堂与作业 20 上机 10 考试 70 联系方式uonm 罗年猛上机 请学习委员联系机房 3 第一章绪论 1引言 2误差的种类及其来源 3绝对误差和相对误差 4有效数字及其与误差的关系 4 1引言计算方法也称数值分析 数值分析是研究各种数学问题求解的计算方法 即数值计算 利用计算机求出数学问题得到数值解的全过程 称为数值计算 使用计算机解决科学计算问题时大致经历如下几个过程 5 随着科学技术的突飞猛进 无论是工农业生产还是国防尖端技术 例如机电产品设计 工程项目设计 气象预报 武器研制 火箭发射等 都有大量复杂的数值计算问题急待解决 实际问题 数学模型 数值计算方法 程序设计 上机计算 结果可视化 6 用数值计算的方法来解决工程实际和科学技术中的具体技术问题时 首先必须具体问题抽象为数学问题 即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型 例如各种微分方程 积分方程 代数方程 等等 然后选择合适的计算方法 编制出计算机程序 最后上机调试并进行计算 以得到所欲求解的结果 7 数值计算方法 将要求解的数学模型简化成一系列算术运算和逻辑运算 以便在计算机上求出问题的数值解 并对算法的收敛性和误差进行分析 计算 这里所说的 算法 不仅仅是数学公式 而是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤 8 选择适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环 例如 计算n次多项式 若直接计算 再逐项相加 共需做 9 n 10时需做55次乘法和10次加法 若用秦九韶 Horner 算法 将多项式P x 改成 来计算时 只要做n次乘法和n次加法即可 10 算法取得不恰当 不仅影响到计算的速度和效率 由于数值计算的近似性和误差的传播 积累 直接影响到计算结果的精度 甚至关系到计算的成败 不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步 而使计算最终失败 这就是算法的数值稳定性问题 11 数值计算过程中会出现各种误差 往往是无法避免的 例如近似值带来的误差 模型误差 观测误差 截断误差和舍入误差等 应该设法尽量降低其数值 尤其要控制住经多次运算后误差的积累 以确保计算结果的精度 12 可用四种算式算出 计算实例 13 如果分别用近似值和按上列四种算法计算 其结果如下表1 1所示 14 15 由表1 1可见 按不同算式和近似值计算出的结果各不相同 有的甚至出现了负值 这真是差之毫厘 谬以千里 可见近似值和算法的选定对计算结果的精确度影响很大 因此 在研究算法的同时 还必须正确掌握误差的基本概念 误差在近似值运算中的传播规律 误差分析 估计的基本方法和算法的数值稳定性概念 否则 一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果 16 2误差的种类及其来源数值计算中 误差主要有如下几种 2 1模型误差在建模 建立数学模型 过程中 欲将复杂的物理现象抽象 归纳为数学模型 往往只得忽略一些次要因素的影响 而对问题作某些必要的简化 这样建立起来的数学模型实际上必定只是所研究的复杂客观现象的一种近似的描述 它与真正客观存在的实际问题之间有一定的差别 这种误差称为 模型误差 17 2 2观测误差在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过人们实际观察 测量得来的 由于受到所用观测仪器 设备精度的限制 这些测得的数据都只能是近似的 即存在着误差 这种误差称为 观测误差 或 初值误差 2 3截断误差在不少数值运算中常遇到超越计算 如微分 积分和无穷级数求和等 它们须用极限或无穷过程来求得 然而计算机却只能完成有限次算术运算和逻辑运算 因此需将解题过程化为一系列有限的算术运算和逻辑运算 这样就要对某种无穷过程进行 截断 即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段 18 这就带来了误差 称它为 截断误差 或 方法误差 例如 函数sinx和ln 1 x 可分别展开为如下的无穷幂级数 2 1 2 2 19 则由于它们的第四项和以后各项都舍弃了 自然产生了误差 这就是由于截断了无穷级数自第四项起 2 4 2 3 若取级数的起始若干项的部分和作为函数值的近似 例如取 20 的后段的产生的截断误差 2 3 和 2 4 的截断误差是很容易估算的 因为幂级数 2 1 和 2 2 都是交错级数 当x 1时的各项的绝对值又都是递减的 因此 这时它们的截断误差可分别估计为 和 21 2 4舍入误差在数值计算过程中 由于受计算机机器字长的限制 它所能表示的数据只能是有限位数 这时就需把数据舍入成一定位数的近似的有理数来代替 如 由此引起的误差称为 舍入误差 22 数学模型一旦建立 进入具体计算时所要考虑和分析的就是截断误差和舍入误差了 在计算机上经过千百次运算后所积累起来的总误差不容忽视 有时可能会大得惊人 甚至到达 淹没 所欲求解的真值的地步 而使计算结果失去根本的意义 因此 在讨论算法时 有必要对其截断误差的估算和舍入误差的控制作适当的分析 23 3绝对误差和相对误差3 1绝对误差和绝对误差限定义设某一个准确值 称为真值 为 其近似值为 则与的差 称为近似值的 绝对误差 简称 误差 3 1 24 由于真值往往是未知或无法知道的 因此 的准确值 真值 也就无法求出 但一般可估计此绝对误差的上限 也即可以求出一个正值 使 3 2 此称为近似值的 绝对误差限 简称 误差限 或称 精度 有时也用 3 3 来表示 3 2 式 这时等式右端的两个数值和代表了所在范围的上 下限 越小 25 表示该近似值的精度越高 例如 用有毫米刻度的尺测量不超过一米的长度 读数方法如下 如长度接近于毫米刻度 就读出该刻度数作为长度的近似值 显然 这个近似值的绝对误差限就是半个毫米 则有 如果读出的长度是513毫米 则有 26 这样 虽仍不知准确长度是多少 但由 3 3 式可得到不等式512 5 l 513 5 毫米 这说明必在 512 5 513 5 毫米区间内 27 3 2相对误差和相对误差限用绝对误差还不能完全评价近似值的精确度 例如测量10米的长度时产生1厘米的误差与测量1米的长度时产生1厘米的误差是大有区别的 虽然两者的绝对误差相同 都是1厘米 但是由于所测量的长度要差十倍 显然前一种测量比后一种要精确得多 这说明要评价一个近似值的精确度 除了要看其绝对误差的大小外 还必须考虑该量本身的大小 这就需要引进相对误差的概念 定义绝对误差与真值之比 即 3 4 28 称为近似值的 相对误差 在上例中 前一种测量的误差为 而后一种测量的相对误差则为 是前一种的十倍 由 3 4 可见 相对误差可以从绝对误差求出 反之 绝对误差也可由相对误差求出 其相互关系式为 3 5 相对误差不仅能表示出绝对误差来 而且在估计近似值运算结果的误差时 它比绝对误差更能反映出误差的特性 因此在误差分析中 相对误差比绝对误差更为重要 29 相对误差也无法准确求出 因为 3 4 中的和均无法准确求得 也和绝对误差一样 可以估计它的大小范围 即可以找到一个正数 使 3 6 称为近似值的 相对误差限 相对误差是个无名数 它没有量纲 例如 称100千克重的东西若有1千克重的误差和量100米长的东西有1米长的误差 这两种测量的相对误差都是1 100 与此相反 由于绝对误差是名词 有量纲 上例中两种测量的绝对误差1千克和1米的量纲不同 两者就无法进行比较 30 在实际计算中 由于真值总是无法知道的 因此往往取 3 7 作为相对误差的另一定义 下面比较与之间的相差究竟有多大 31 一般地 很小 不会超过0 5 这样不大于2 因此 上式右端是一高阶小量 可以忽略 32 上式右端是一高阶小量 可以忽略 故用来代替 相对误差也可用百分数来表示 这时称它为百分误差 33 4有效数字及其误差的关系4 1有效数字在表示一个近似值的准确程度时 常用到 有效数字 的概念 例如 若按四舍五入取四位小数 则得的近似值为3 1416 若取五位小数则得其近似值为3 14159 这种近似值取法的特点是误差限为其末位的半个单位 即 34 定义当近似值的误差限是其某一位上的半个单位时 称其 准确 到这一位 且从该位起直到前面第一位非零数字为此的所有数字都称为有效数字 一般说 设有一个数 其近似值的规格化形式 4 1 35 式中 都是中的一个数字 n是正整数 m是整数 若的误差限为 4 2 则称为具有n位有效数字的有效数 或称它精确到 其中每一位数字都是的有效数字 若 4 1 中的是经四舍五入得到的近似数 则具有n位有效数字 例如 3 1416是的具有五位有效数字的近似值 精确到0 0001 36 如 203和0 0203都是具有三位有效数字的有效数 但要注意 0 0203和0 020300就不同了 前者仅具有三位有效数字 即仅精确到0 0001 而后者则具有五位有效数字 即精确到0 000001 可见 两者的精确程度大不相同 后者远较前者精确 差100倍 因此 有另一种情况 例如x 0 1524 x 0 154 这时x 的误差为 0 0016 其绝对值超过0 0005 第三位小数的半个单位 但却没有超过0 005 第二位小数的半个单位 即 显然 虽然有三位小数但却只精确到第二位小数 因此 它只具有二位有效数字 其中1和5都是准确数字 37 而第三位数字4就不再是准确数字了 我们就称它为存疑数字 注 用计算机进行的数值计算 由于受到计算机字长的限制 要求输入的数有一定的位数 计算的结果也只保留一定的位数 且所保留下来的不一定都是有效数字 同时也不是所有的有效数字都可保留下来 4 2有效数字与误差的关系由 4 2 可知 从有效数字可以算出近似数的绝对误差限 有效数字的位数越多 其绝对误差限也就越小 且还可以从有效数字求出其相对误差限 38 当用 4 1 表示的近似值x 具有n位有效数字时 显然有 4 3 故由 4 2 可知 其相对误差 39 故相对误差限为 4 4 由 4 4 可见 有效数字的位数反映了近似值的相对精确度 上述关系的逆也是成立的 即当用 4 1 表示的近似值x 如