随机过程及应用：预备知识：特征函数.ppt

一 特征函数的定义及例子 设X Y是实随机变量 复随机变量Z X jY的数学期望定义为 特别 预备知识5特征函数 注 1 costx和sintx均为有界函数 故 总存在 2 是实变量t的函数 X是实随机变量 求随机变量函数的数学期望 定义5 1设X是定义在 F P 上的随机变量 称 为X的特征函数 关于X的分布函数的富里埃 司蒂阶变换 当X是连续型随机变量 则 当X是离散型随机变量 则 Ex 1单点分布 Ex 2两点分布 Ex 3二项分布 Ex 4泊松分布 Ex 5指数分布 Ex 6均匀分布 Ex 7正态分布N a 2 特别对正态分布N 0 1 有 证明 二 特征函数性质 性质5 1随机变量X的特征函数满足 证 许瓦茨不等式 6 1 3 性质5 2随机变量X的特征函数为则Y aX b的特征函数是 a b是常数 Ex 8设 N a 2 求其特征函数 解设X N 0 1 有Y X a 且 证 性质5 3随机变量X的特征函数在R上一致连续 使时 对t一致地有 一般 性质5 4特征函数是非负定的函数 即对任意正整数n 任意复数z1 z2 zn 及 证 注 以上性质中一致连续性 非负定性是本质性的 定理5 1 波赫纳 辛钦 函数为特征函数的充分必要条件是在R上一致连续 非负定且 下定理给出了特征函数与矩的关系 注逆不真 证仅证连续型情形 设X的概率密度为f x 有 令t 0 得 故 Ex 9随机变量X服从正态分布 解 故 同理 可进一步计算随机变量X的k阶中心矩 三 反演公式及惟一性定理 由随机变量X的分布函数可惟一确定其特征函数 问题 能否由X的特征函数唯一确定其分布函数 从而 定理5 3 反演公式 设随机变量X的分布函数和特征函数分别为F x 和 则对F x 的任意连续点x1 x2 x1 x2 有 推论1 惟一性定理 分布函数F1 x 和F2 x 恒等的充要条件是它们的特征函数和恒等 参见P245 推论2若随机变量X的特征函数在R上绝对可积 则X为连续型随机变量 其概率密度为 反演公式 注 对于连续型随机变量X 概率密度与特征函数互为富氏变换 则 推论3随机变量X是离散型的 其分布律为 反演公式 证设有 Ex 9随机变量X在 上服从均匀分布 Y cosX 利用特征函数求Y的概率密度 解 X的概率密度为 Y的特征函数为 令 根据特征函数与分布函数的惟一性定理 知随机变量Y的概率密度为 Ex 10已知随机变量X的特征函数为 试求X的概率分布 解因 根据特征函数的惟一性定理 知随机变量X的分布律为 四 多维随机变量的特征函数 定义5 4二维随机变量 X Y 的特征函数定义为 连续型 注多维随机变量的特征函数定义见P247 离散型 例 X Y 服从二维正态分布 则其特征函数为 性质5 5二维随机变量 X Y 的特征函数满足以下性质 1 对任意t1 t2 R 有 2 3 在实平面上一致连续 4 性质5 6设二维随机变量 X Y 的特征函数为则 1 随机变量的特征函数为 2 Z aX bY c的特征函数为 特别有 证 Ex 11设 X1 X2 服从二维正态分布 且E Xk k k 1 2 记 求Y X1 X2的特征函数 解 故Y X1 X2 N 3 12 性质5 7分布函数与恒等的充分必要条件是它们的特征函数与恒等 定理5 3随机向量相互独立的充要条件是其特征函数满足 证明参见P249 在上式中特别取ti t i 1 2 n 有 推论1设随机变量相互独立 令 则Y的特征函数为 注意 定理5 3与推论1的区别 练习 X U 0 1 P Y 0 P Y 1 1 2 X Y相互独立 试确定X Y的分布 Ex 12随机变量Y B n p 写出其特征函数 解二项分布随机变量Y可表示为 且Xk B 1 p k 1 2 n 相互独立 故Y的特征函数为 推论2若随机变量相互独立同