重庆大学 控制工程第四章.pdf

第四章第四章第四章第四章频率特性分析频率特性分析频率特性分析频率特性分析 基本要求基本要求 1 掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数 单位脉冲响应 函数和微分方程之间的相互关系 掌握频率特性和频率响应的求 法 2 掌握频率特性的奈氏图和Bode图的组成原理 熟悉典型环节的奈氏 图和Bode图的特点及其绘制 掌握一般系统的奈氏图和Bode图的 特点和绘制 3 掌握频域中性能指标的定义和求法 了解频域性能指标与系统性能 的关系 4 了解最小相位系统和非最小相位系统的概念 本章重点本章重点 1 频率特性基本概念 代数表示法及其特点 2 频率特性的图示法的原理 典型环节的图示法及其特点和一般系统 频率特性的两种图形的绘制 3 频域中的性能指标 本章难点本章难点 1 一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析 2 频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系 4 1 4 1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 4 1 1 4 1 1 频率响应与频率特性频率响应与频率特性 对于系统对于系统 除了可以作时域分析外除了可以作时域分析外 还可以从频域进行研究还可以从频域进行研究 频域分频域分 析法是借助系统的频域特性来分析系统的性能析法是借助系统的频域特性来分析系统的性能 因而也称为频率特性或频率因而也称为频率特性或频率 法法 频率特性分析方法具有如下特点频率特性分析方法具有如下特点 这种方法可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得系统的动这种方法可以通过分析系统对不同频率的稳态响应来获得系统的动 态特性态特性 频率特性有明确的物理意义频率特性有明确的物理意义 可以用实验的方法获得可以用实验的方法获得 这对那些不这对那些不 能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节能或难于用分析方法建立数学模型的系统或环节 具有非常重要的具有非常重要的 意义意义 不需要解闭环特征方程不需要解闭环特征方程 由开环频率特性即可研究闭环系统的瞬态由开环频率特性即可研究闭环系统的瞬态 响应响应 稳态误差和稳定性稳态误差和稳定性 2 输出响应中振幅和相位差都是输入 信号频率 的非线性函数 表示为 1 1 频率响应频率响应 线性定常系统对正弦信号正弦信号 谐波输入 的稳态响应稳态响应称 为频率响应 Xi txi Xo tx o tXtx ii sin o tx 设输入 响应的特点 一个稳定的线性定常系统 在谐波函数作用下 其输出的稳态 分量 频率响应 也是一个谐波函数 而且其角频率与输入信号的 角频率相同 但振幅和相位则一般不同于输入信号的振幅与相位 而随着角频率的改变而改变 1 输出与输入为同频率的谐波信号 sin oo tXtx 2 2 幅频特性幅频特性 输出信号与输入信号的幅值之比随 变化的特性 i X X A o 3 3 相频特性相频特性 输出信号与输入信号的相位差 或相移 随 变化的特性 4 4 频率特性频率特性 通常将幅频特性和相频特性统称为频率特性 j eA 0 按逆时针方向旋转为正值 表超前 1 按顺时针方向旋转为负值 表滞后 0 2 4 1 2 4 1 2 频率特性的求法频率特性的求法 1 用拉氏逆变换求取用拉氏逆变换求取 tXtx ii sin 22 sin s X tXLtxLsX i iii 22 o s X sGsX i 22 1 o s X sGLtx i 根据频率特性的定义即可求出其幅频特性和相频特性 例例4 4 1 1 机械系统如图机械系统如图4 4 3 3所示所示 弹簧刚度系数弹簧刚度系数k 10N m 阻尼阻尼 系数系数C 10N s m 输入幅值为输入幅值为 1N的正弦力的正弦力 求两种频率下求两种频率下 即即 f t sint和和f t sin100t 时时 系统的位移系统的位移y t 的稳态输的稳态输 出出 解解 系统的微分方程为系统的微分方程为 d d tky t ty Ctf 系统的输出为系统的输出为 22 F s1 1 F s s sT k GsY 1 1 1 1 Ts k s k c k sF sY sG 式中式中 T c k 1 s K 1 k 1 10 0 1 m N 系统的传递函数系统的传递函数 式中式中a b d为待定系数为待定系数 求出其值求出其值 并取拉氏反变换得并取拉氏反变换得 22 1 s dbs Ts a sin 1 1 t 22 TarctgtF T k x sin tY sin tFA 系统的幅频特性为系统的幅频特性为 系统的幅频特性为系统的幅频特性为 222 1 1 0 1 1 T k F Y A 系统的相幅频特性为系统的相幅频特性为 arctg arctgT 当当当当 100 100 rad srad s时时时时 NmA 100 1 0 1001 1 0 2 arctan100arctan100 89 489 4 所以所以所以所以f f t t sin100 sin100t t时的稳态位移输出为时的稳态位移输出为时的稳态位移输出为时的稳态位移输出为 4 89100sin 001 0 4 89100sin 100 1 0 ttty 系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小 同时位移的相同时位移的相系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小系统的位移幅值随着输入力的频率增大而减小 同时位移的相同时位移的相 位滞后量也随频率的增高而加大位滞后量也随频率的增高而加大 位滞后量也随频率的增高而加大位滞后量也随频率的增高而加大 所以当所以当f t sint 即即 1 1 时稳态位移输出为时稳态位移输出为 45sin 07 0 45sin 2 1 0 ttty jjGj eAejGjG 系统频率特性系统频率特性系统频率特性系统频率特性 2 令令s s j j j jGsG jG 将传递函数中的s用 代替 就是系统的频率特性 1 幅频特性 o jG X X A i 2 相频特性 jG Im Re j jGjGjG 22 u v arctg vujG 3 实频特性 4 虚频特性 u v s j 3 3 用试验方法求取用试验方法求取 根据频率特性的定义 首先 改变输入谐波信号的频 率 并测出与此相应的稳态输出的幅值与相移 然 后 作出幅值比对频率 的函数曲线 此即幅频特性曲 线 作出相移对频率 的函数曲线 此即相频特性曲线 最后 对以上曲线进行辨识即可得到系统的频率特性 tj ie x o X io XX 10 1 10 0 101 40 20 0 20 10 1 10 0 10 1 90 180 0 0 1 0 1 1 频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换 即 2 频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应 揭示 系统的动态特性 3 频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言 应用频率特性 的概念可以非常容易求系统在谐波输入 作用下系统的稳态响应 另外 系统频 率特性在研究系统的结构与参数对系统 性能的影响时 比较容易 4 频率特性分析在实验建模和复杂系统分 析方面的应用要比时域分析法更方便 4 1 3 4 1 3 频率特性的物理意义频率特性的物理意义 twFjG 5 微分方程 单位脉冲响应函 数 传函 频率特性的关系如 图 频率特性频率特性G j 的物理意义的物理意义 1 1 频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的 复现能力复现能力 或或 跟踪跟踪 能力能力 在频率较低时在频率较低时 T 1时时 输入信号基本上可以按原比例在输输入信号基本上可以按原比例在输 出端复现出来出端复现出来 而在频率较高时而在频率较高时 输入信号就被抑制而不能传递出去输入信号就被抑制而不能传递出去 对于实际中的系统对于实际中的系统 虽然形式不同虽然形式不同 但一般都有这样的但一般都有这样的 低通低通 滤波及滤波及 相位滞后作用相位滞后作用 2 2 频率特性随频率而变化频率特性随频率而变化 是因为系统含有储能元件是因为系统含有储能元件 实际系统中往往实际系统中往往 存在弹簧存在弹簧 惯量或电容惯量或电容 电感这些储能元件电感这些储能元件 它们在能量交换时它们在能量交换时 对不同对不同 频率的信号使系统显示出不同的特性频率的信号使系统显示出不同的特性 3 3 频率特性反映系统本身的特点频率特性反映系统本身的特点 系统元件的参数系统元件的参数 如机械系统的如机械系统的k c m 给定以后给定以后 频率特性就完全确定频率特性就完全确定 系统随系统随 变化的规律也就完全确定变化的规律也就完全确定 就是说就是说 系统具有什么样的频率特性系统具有什么样的频率特性 取决于系统结构本身取决于系统结构本身 与外界因素与外界因素 无关无关 频率特性频率特性G j 的本质的本质 4 2 4 2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 4 2 1 4 2 1 频率特性图概述频率特性图概述 1 1 奈奎斯特图奈奎斯特图 在平面上取Re及Im轴 以 作参变量 当 从0 变化时 端点的轨迹为频率特性的极坐标图极坐标图 称为 NyquistNyquist图图 jG jG u jv A u v Im Re G j 1 G j 0 当当 从从0 变化时变化时 G j 矢量端点的轨迹即为频率特性矢量端点的轨迹即为频率特性 的极坐标曲线的极坐标曲线 该曲线连同坐标一起则称为极坐标图该曲线连同坐标一起则称为极坐标图 这这 里规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线里规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线 由零度线由零度线 起起 矢量逆时针转过的角度为正矢量逆时针转过的角度为正 顺时针转过的角度为负顺时针转过的角度为负 图中用箭头标明图中用箭头标明 从小到大的方向从小到大的方向 主要缺点主要缺点 不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作 用用 绘制较麻烦绘制较麻烦 极坐标图的优点极坐标图的优点 在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性 虚虚 频特性频特性 幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性 它比较简洁直观地表明了它比较简洁直观地表明了 系统的频率特性系统的频率特性 2 2 BodeBode图图 以 的常用对数值为横坐标 分别以和 为纵坐标画出的曲线 称为对数幅频特性图对数幅频特性图和对数相频特性对数相频特性 图图 统称为频率特性的对数坐标图对数坐标图 又称为Bode图 lg20 A 1 纵坐标单位为分贝分贝 线性分度 lg20dB 1 jG 0 1 0 0 1 0 0 450 900 dB A 20 j Glg 1 10 102 40 20 40 20 A 1 10 102 900 450 2 横坐标单位为rad s或1 s 对数分 度 3 1010倍频程倍频程 decdec 若 2 10 1 则称从 1到 2为10倍频程 每10 倍频程对数差1 但习惯上仍标真数 值 即横坐标按10倍频程均匀分 度 1 1 渐近线的斜率渐近线的斜率 绘制对数幅频特性图时绘制对数幅频特性图时 一般常只画出它的渐近线一般常只画出它的渐近线 当当 要求精确时要求精确时 再加以修正再加以修正 所以在画渐近线之前所以在画渐近线之前 先要确定先要确定 渐近线的斜率渐近线的斜率 渐近线的斜率是用频率增高到一倍或十倍时渐近线的斜率是用频率增高到一倍或十倍时 L 变化变化 的分贝数来表示的的分贝数来表示的 设某环节的对数幅频特性为设某环节的对数幅频特性为 L L 20lg20lg 则频率则频率 1 1 和和1010 1 1 时的对数幅值为 时的对数幅值为 L L L L 1 1 20lg 20lg 1 1 L L L L 10 10 1 1 20lg20lg 1 1 20lg10 20lg10 20lg20lg 1 1 2020 即该对数幅频特性渐近线的斜率为即该对数幅频特性渐近线的斜率为 20dB dec20dB dec 显然 倍频程渐近线的斜率为显然 倍频程渐近线的斜率为 6dB oct6dB oct 22 1 5 T A 2 2 2 2 对数幅频特性曲线的渐近线对数幅频特性曲线的渐近线 对数幅频特性曲线的渐近线对数幅频特性曲线的渐近线 设某环节的幅频特性为设某环节的幅频特性为设某环节的幅频特性为设某环节的幅频特性为 这一环节的对数幅频特性曲线这一环节的对数幅频特性曲线这一环节的对数幅频特性曲线这一环节的对数幅频特性曲线 22 1lglg520 20lgA TL 渐近线可求得如下渐近线可求得如下 渐近线可求得如下渐近线可求得如下 当当当当 1 1 1 T T时时 时时 1 1 1 1与与与与T T 2 2 2相比可以忽略 相比可以忽略 故在这一故在这一相比可以忽略相比可以忽略 故在这一故在这一 频段的对数幅频特性频段的对数幅频特性 可近似的取为可近似的取为频段的对数幅频特性频段的对数幅频特性 可近似的取为可近似的取为 TL20lg20lg5 20lg 5 20lg T L 即即 显然显然 这是一条斜率为这是一条斜率为显然显然 这是一条斜率为这是一条斜率为 20dB dec20dB dec的直线的直线 的直线的直线 因此因此 其对数幅频特性其对数幅频特性 可用上述两条直线近似可用上述两条直线近似 因此因此 其对数幅频特性其对数幅频特性 可用上述两条直线近似可用上述两条直线近似 这两条直线就是所求的渐近线这两条直线就是所求的渐近线 这两条直线就是所求的渐近线这两条直线就是所求的渐近线 3 3 3 3 转角频率转角频率 转角频率转角频率 两条渐近线相交处的频率称为转角频率两条渐近线相交处的频率称为转角频率两条渐近线相交处的频率称为转角频率两条渐近线相交处的频率称为转角频率 T T T T 转角频率可通过联解两条渐近线方程而求得转角频率可通过联解两条渐近线方程而求得 转角频率可通过联解两条渐近线方程而求得转角频率可通过联解两条渐近线方程而求得 20lg5 20lg20lg5 L TL T T 1 求得求得求得求得 其实其实 系统对数幅频特性曲线上的各个转角频率系统对数幅频特性曲线上的各个转角频率 其实其实 系统对数幅频特性曲线上的各个转角频率系统对数幅频特性曲线上的各个转角频率 就是系统各组成环节的时间常数的倒数或无阻尼自就是系统各组成环节的时间常数的倒数或无阻尼自就是系统各组成环节的时间常数的倒数或无阻尼自就是系统各组成环节的时间常数的倒数或无阻尼自 然频率然频率 对数幅频特性曲线的渐近线的斜率对数幅频特性曲线的渐近线的斜率 在转在转然频率然频率 对数幅频特性曲线的渐近线的斜率对数幅频特性曲线的渐近线的斜率 在转在转 角频率处要发生突变角频率处要发生突变 所以在绘制波德图时要确定所以在绘制波德图时要确定角频率处要发生突变角频率处要发生突变 所以在绘制波德图时要确定所以在绘制波德图时要确定 各个转角频率各个转角频率 各个转角频率各个转角频率 波德图表示频率特性有如下优点波德图表示频率特性有如下优点 1 1 可将串联环节幅值的乘可将串联环节幅值的乘 除除 化为幅值的加化为幅值的加 减减 因而因而 简化了计算与作图过程简化了计算与作图过程 2 2 可用近似方法作图可用近似方法作图 先分段用直线作出对数幅频特性的先分段用直线作出对数幅频特性的 渐近线渐近线 再用修正曲线对渐近线进行修正再用修正曲线对渐近线进行修正 就可得到较准确就可得到较准确 的对数幅频特性图的对数幅频特性图 3 3 可分别作出各个环节的波德图可分别作出各个环节的波德图 然后用叠加方法得出系然后用叠加方法得出系 统的波德图统的波德图 并由此可以看出各个环节对系统总特性的影响并由此可以看出各个环节对系统总特性的影响 4 4 由于横坐标为对数坐标由于横坐标为对数坐标 所以所以 0 0的频率不可能在横坐的频率不可能在横坐 标上表现出来标上表现出来 因此因此 横坐标的起点可根据实际所需的最横坐标的起点可根据实际所需的最 低频率低频率 来决定来决定 4 2 2 4 2 2 典型环节的频率特性图典型环节的频率特性图 1 1 比例环节比例环节 Im Re K j0 G j 奈氏图 KsG 传递函数 K jG频率特性 0 jG相频特性 K u 实频特性 0 v虚频特性 KjGLlg20 lg20 对数幅频特性 幅频特性 KjGA Bode图 dB 0 1110 0 1110 s 1 s 1 20lgK 0 0 2 2 积分环节积分环节 s sG 1 传递函数 11 j j jG 频率特性 o 09 jG相频特性 0 u 实频特性 1 v虚频特性 lg20 lg20 jGL 对数幅频特性 幅频特性 1 jGA 奈氏图 Im Re G j 90 0j 1 Bode图 dB 20 40 0 1 1 10 90 180 90 180 20 lg G G 1 于是于是 当当 0 1 rad s时时 20lg G j 20dB 对数幅频特对数幅频特 性经过点性经过点 0 1 20 当当 1 rad s时时 20lg G j 0dB 对数幅频特性经过点对数幅频特性经过点 1 0 当当 10 rad s时时 20lg G j 20dB 对数幅频特性经过点对数幅频特性经过点 10 20 故积分环节的对数幅频特性如图故积分环节的对数幅频特性如图4 4 1212上半部所示上半部所示 它是一它是一 条过点条过点 1 1 0 0 的直线的直线 其斜率为其斜率为 20dB dec 20dB dec decdec表示十表示十 倍频程倍频程 即横坐标的频率由即横坐标的频率由 增加到增加到1010 积分环节的对数相频特性它与积分环节的对数相频特性它与积分环节的对数相频特性它与积分环节的对数相频特性它与 无关无关 是一条过点是一条过点无关无关 是一条过点是一条过点 0 0 9090 且平行于横轴的直线且平行于横轴的直线 且平行于横轴的直线且平行于横轴的直线 40lg 20lg 20lg 20lg 20lg j20lg 2 2 K K K GL 解解 因因解解 因因 即即即即 例例例例 作作作作的波德图的波德图 的波德图的波德图 2 s K sG 2 j K G 相频特性相频特性相频特性相频特性 G G j j 180180 对数幅频特性为对数幅频特性为 对数幅频特性为对数幅频特性为 对数相频特性对数相频特性对数相频特性对数相频特性 G G j j 180180 当当当当 1 1 K K 10 10时时时时 20lg G j20lg G j 20dB 20dB 对数幅频特性过点对数幅频特性过点 对数幅频特性过点对数幅频特性过点 1 1 20 20 10 10 K K 10 10时时 时时 20lg 20lg G G j j 20dB20dB 对数幅频特性过点对数幅频特性过点对数幅频特性过点对数幅频特性过点 1 1 20 20 2 s K sG 故幅频特性故幅频特性故幅频特性故幅频特性2 j K G 对数幅频特性为一过点 1 20 而斜率为 40dB dec的直线 如 图4 13幅频特性图中粗实线所 示 显然 它是一个比例环节 K 10 与两个积分环节 1 s 的 对数幅频特性的叠加 而这两 个积分环节的对数幅频特性如 图4 13中虚线所示 对数相频特性是一条过点 0 180 且平行于横轴的一直线 如图4 13所示 当然也是一个比 例环节和两个积分环节的对数相 频特性的叠加 由图可知 增加一个串联的积分环节 就使对数幅频特性的斜率增加 20dB dec 而使相位增加 90 增加一个串联的比例环节后 其对数幅 频特性垂直平移20lgK 而其相位不变 3 3 微分环节微分环节 ssG 传递函数 jjG 频率特性 o 09 jG相频特性 0 u 实频特性 v虚频特性 lg20 lg20 jGL对数幅频特性 幅频特性 jGA 奈氏图 Im Re G j 0j 90 Bode图 90 180 90 s 1 G dB 20 0 11 10 s 1 20lg G 20 4 4 惯性环节惯性环节 1 1 Ts sG 传递函数 22 1 1 1 1 T jT jT jG 频率特性 arg TtgjG 相频特性 22 1 1 T u 实频特性 22 1 T T v 虚频特性 2 1lg20 lg20 TjGL 对数幅频特性 幅频特性 22 1 1 T jGA 奈氏图 Im Re G j K K 2 Bode图 dB s 1 G 20 40 90 45 s 1 T 20 波德图波德图波德图波德图 22 1 1 T jG 如令如令如令如令 此频率称为转角频率此频率称为转角频率 此频率称为转角频率此频率称为转角频率 T T 1 对数幅频特性对数幅频特性对数幅频特性对数幅频特性 22 1lg20 lg20 TjGL 对数相频特性对数相频特性对数相频特性对数相频特性 TjGarctan 当当当当 1 T时时 对数幅频特性为对数幅频特性为 时时 对数幅频特性为对数幅频特性为 TjGL lg20 lg20 即在低频段即在低频段 渐近线是一条渐近线是一条即在低频段即在低频段 渐近线是一条渐近线是一条0dB dec0dB dec0dB dec0dB dec水平线水平线 在高频段是一在高频段是一水平线水平线 在高频段是一在高频段是一 条斜率为条斜率为条斜率为条斜率为 20dB dec20dB dec20dB dec20dB dec的直线的直线 该两条渐近线相交处的转角频该两条渐近线相交处的转角频的直线的直线 该两条渐近线相交处的转角频该两条渐近线相交处的转角频 率为率为率为率为 T T 1 惯性环节的对数幅频特性曲线的穿越频率和转角频率相等惯性环节的对数幅频特性曲线的穿越频率和转角频率相等 惯性环节的对数幅频特性曲线的穿越频率和转角频率相等惯性环节的对数幅频特性曲线的穿越频率和转角频率相等 即即即即 cr T 渐近线渐近线渐近线渐近线L L 20lg20lg T的绘制方法的绘制方法 的绘制方法的绘制方法 设设设设 i 则有则有 则有则有L L i 20lg iT 如果频率如果频率 如果频率如果频率 i变化了十倍频 变化了十倍频变化了十倍频变化了十倍频 程程 即即程程 即即 10 i 则有则有 则有则有 dB 20lg2010lg20 10 TTL iii 从上式可以看出从上式可以看出 当频率每变化十倍频程时当频率每变化十倍频程时 幅值幅值从上式可以看出从上式可以看出 当频率每变化十倍频程时当频率每变化十倍频程时 幅值幅值 L L L L 衰衰衰衰 减减减减20dB20dB20dB20dB 即斜率为即斜率为 即斜率为即斜率为 20dB dec20dB dec20dB dec20dB dec 由图可知由图可知 惯性环节有低通滤波器的特性惯性环节有低通滤波器的特性 当输入频率当输入频率 T时 时 其输出很快衰减其输出很快衰减 即滤掉输入信号的高频部分即滤掉输入信号的高频部分 在低频段在低频段 输出能较准确地反映输入输出能较准确地反映输入 渐近线与精确的对数幅频特性曲线之间有误差渐近线与精确的对数幅频特性曲线之间有误差e 由图由图4 4 1818可知可知 最大误差发生在转角频率最大误差发生在转角频率 T处 处 其误差为其误差为 3dB 在在 2 T或 或 T 2的频率处 的频率处 e 为为 0 91dB 即约为即约为 1dB 而在而在 10 T 或或 T 10的频率处 的频率处 e 就接近于就接近于0dB 据此可据此可0 1 T 10 T范围内对渐近线进行修正 范围内对渐近线进行修正 5 5 一阶微分环节一阶微分环节 1 TssG 传递函数 jTjG 1 频率特性 arg TtgjG 相频特性 1 u实频特性 Tv 虚频特性 2 1lg20 lg20 TjGL 对数幅频特性 幅频特性 22 1 TjGA 奈氏图 Im Re G j 1 T tg 1 Bode图 dB s 1 20 lgG G 20 40 90 45 0 T 10 20 dB dec T s 1 6 6 振荡环节振荡环节 TjT jG 2 1 1 22 频率特性 22 1 2 arg T T tgjG 相频特性 2222 22 2 1 1 TT T u 实频特性 2222 2 1 2 TT T v 虚频特性 2222 2 1lg20 TTL 对数幅频特性 幅频特性 2222 2 1 1 TT jGA 传递函数 12 1 22 TssT sG 1 0 500 511 5 2 1 5 1 0 5 0 0 5 Re Im n 0 3 0 5 0 7 0 2 1 2 1 奈氏图 10 1100101 40 20 0 20 10 1100101 90 180 0 0 1 0 3 0 7 0 1 0 7 0 3 Bode图 40 在阻尼在阻尼 比较小时比较小时 幅频特性幅频特性 G j 在频率为在频率为 r处出现峰值如图所示 处出现峰值如图所示 此峰值称为谐振峰值此峰值称为谐振峰值Mr 对应的频率对应的频率 r 称为称为谐振频率谐振频率 可如下求出可如下求出 由由由由0 jG 求得求得求得求得 2 21 1 T r 即即 当频率当频率即即 当频率当频率 r时 时 时时 G G j j 出现峰值出现峰值 当当出现峰值出现峰值 当当1 1 2 2 2 2 0 0 0 7070 707 时时 时时 r r 才有意义才有意义 其谐振峰值为其谐振峰值为才有意义才有意义 其谐振峰值为其谐振峰值为 2 21 arctan j r G 2 12 1 rr jGM 越小越小 r 就越大就越大 0时时 r 1 T n 由于无阻尼自然频率由于无阻尼自然频率 n和有阻尼固有频率 和有阻尼固有频率 d的关系 的关系 是是 对于欠阻尼系统对于欠阻尼系统 0 1 谐振频率谐振频率 r 总小于有阻尼固有频率总小于有阻尼固有频率 d 2 1 nd 振荡环节的对数幅频 特性的误差修正曲线 7 7 二阶微分环节二阶微分环节 TjTjG2 1 22 频率特性 22 1 2 arg T T tgjG 相频特性 22 1 Tu 实频特性 Tv2 虚频特性 2222 2 1lg20 TTL 对数幅频特性 幅频特性 2222 2 1 TTjGA 传递函数 12 22 TssTsG 8 8 延时环节延时环节 sincos jejG j 频率特性 jG 相频特性 cos u 实频特性 sin v 虚频特性 0 L 对数幅频特性 幅频特性 1 jGA 传递函数 s esG Im Re 很小 G j 1 奈氏图 s 1 G 110 100 20 40 60 Bode图 dB 20 40 0 1110 20 lg G 4 3 4 3 系统的频率特性系统的频率特性 4 3 1 4 3 1 绘制系统奈氏图绘制系统奈氏图 1 1 奈氏图的一般形状奈氏图的一般形状 n j j m i i i sTs sK sX sX sG 1 1o 1 1 n j j m i i jTj jK jG 1 1 1 1 频率特性频率特性 标准形式标准形式 传递函数形式传递函数形式 u jv A u v Im Re G j 1 G j 0 Im Re G j 0 0型系统 型系统 型系统 Im Re G j 0 绘制频率特性绘制频率特性Nyqusit图的步骤图的步骤 1 1 在系统传递函数中令在系统传递函数中令s j 写出系统频率特性写出系统频率特性G j 2 2 写出系统的幅频特性写出系统的幅频特性 G j 相频特性相频特性 G j 实频实频 特性特性Re 和虚频特性和虚频特性Im 3 3 令令 0 求出求出 0时的时的 G j G j Re Im 4 4 若频率特性矢端轨迹与实轴若频率特性矢端轨迹与实轴 虚轴存在交点虚轴存在交点 求出这求出这 些交点些交点 令令Re 0 求出求出 然后代入然后代入 Im 的表达式的表达式 即求得矢端轨迹与虚轴的交点即求得矢端轨迹与虚轴的交点 令令Im 0 求出求出 然后代入然后代入Re 的表达式即求得矢端轨迹与实轴的交点的表达式即求得矢端轨迹与实轴的交点 5 5 5 5 对于二阶振荡环节对于二阶振荡环节 或二阶系统或二阶系统 还要求还要求 对于二阶振荡环节对于二阶振荡环节 或二阶系统或二阶系统 还要求还要求 n n 时的时的时的时的 G G j j G G j j Re Re ImIm 若此环节若此环节 或系统或系统 若此环节若此环节 或系统或系统 的阻尼比的阻尼比的阻尼比的阻尼比0 0 0 707 0 707 则还要计算谐振频率则还要计算谐振频率 则还要计算谐振频率则还要计算谐振频率 r r 谐振峰值谐振峰值 谐振峰值谐振峰值 MM r r 及及及及 r r 时的时的时的时的Re Re ImIm 6 6 6 6 在在 在在0 0 的范围内再取若干点分别求的范围内再取若干点分别求的范围内再取若干点分别求的范围内再取若干点分别求 G G j j G G j j ReRe ImIm 8 8 8 8 在复平面在复平面 在复平面在复平面 G G j j 中中 标明实轴标明实轴 原点原点 虚轴和复平面虚轴和复平面中中 标明实轴标明实轴 原点原点 虚轴和复平面虚轴和复平面 名称名称名称名称 G G j j 在此坐标系中在此坐标系中 分别描出以上所求各点分别描出以上所求各点 并并 在此坐标系中在此坐标系中 分别描出以上所求各点分别描出以上所求各点 并并 按按按按 增大的方向将上述各点联成一条曲线增大的方向将上述各点联成一条曲线 在该曲线旁标在该曲线旁标增大的方向将上述各点联成一条曲线增大的方向将上述各点联成一条曲线 在该曲线旁标在该曲线旁标 出出出出 增大的方向增大的方向 增大的方向增大的方向 7 7 7 7 令令 令令 求出求出 求出求出 G G j j G G j j ReRe ImIm 2 2 NyquistNyquist图作图思路图作图思路 s G jG 必要时必要时 v u jG jG 特殊点特殊点 0 jGjG jGjG jGjG nn 终点终点 起点起点 经历的象限经历的象限 2 1 1 1 jjj jG 41 1 21 4 1 1 3 22 2 22 j 22 211 1 jG 2 90 11o tgtgjG 解 例 已知系统开环传递函数 12 1 1 sss sG 作系统的Nyquist图 o 90 0 0 jGjG 0 o 270 0 jGjG 21 v 0 特殊点 4 3 2 4 3 2 绘制系统绘制系统BodeBode图图 1 1 典型环节典型环节BodeBode图图 积分环节 微分环节 惯性环节 一阶导前环节 二阶振荡环节 二阶导前环节 dB 20 lg G G T s 1 0o 45o 90o 180o 180o 90o 45o 1 s 1 0 20 40 20 40 T 控制系统一般总是由若干典型环节组成 直接绘制系统的控制系统一般总是由若干典型环节组成 直接绘制系统的 开环玻德图比较繁琐 但熟悉了典型环节的频率特性后 开环玻德图比较繁琐 但熟悉了典型环节的频率特性后 就不难绘制出系统的开环玻德图 就不难绘制出系统的开环玻德图 控制系统的开环传递函数一般形式为控制系统的开环传递函数一般形式为 p i q i kikikii N m j n j kjkjkjj sTsTsTs sssK sHsG 11 22 11 22 12 1 12 1 n j kjkjkj m j j q i kikiki p i i TT TNKL 1 2222 1 22 1 2222 1 22 2 1 lg20 1lg20 2 1 lg20 1lg20lg20lg20 故其对数幅频特性为故其对数幅频特性为 对数相频特性为对数相频特性为对数相频特性为对数相频特性为 n 1j 22 kj kjkj m 1j j p 1i q 1i 22 ki kiki i 1 2 T1 T2 T 2 N arctanarctan arctanarctan 2 2 BodeBode图作图思路图作图思路1 1 1 由传递函数求出频率特性 2 将转化为若干典型环节的频率特性相乘 或相除 的形式 3 找出各典型环节的转角频率 4 作出各环节的对数幅频特性的渐近线 5 对渐近线进行修正 得出各环节的对数幅频特性的精确曲线 6 将各环节的对数幅频特性叠加 不包括系统总的增益K 7 将叠加后的曲线垂直移动20lgK 得到系统的对数幅频特性 8 作各环节的对数相频特性 然后叠加得到系统总的对数相频特性 9 有延时环节时 对数幅频特性不变 对数相频特性则应加上 jG 2 2 3 10 2 ssss s sG 例1 已知系统开环传递函数 解 1 1 将常数项变为将常数项变为1 1 写成标准形式写成标准形式 分析组成系统的典型环节分析组成系统的典型环节 1 2 1 2 1 2s 2 1 12 3 1 1 310 2 sss s sG 1 2 1 22 1 2 2 1 2 1 1 3 1 15 7 22 jjjj j jG 系统由比例 积分 一阶惯性 二阶振荡和一阶导前环节组成 绘制系统Bode图 2 2 求出各环节转角频率 并从小到大排列 i Ti T 1 1 2 3 7 5 积分 二阶 惯性 导前 比例 i Ti T 1 2 3 3 依次作出各环节Bode图 积分 二阶 惯性 一阶导前环节的 Bode图 分别如图中的 比例环节的幅频 相频特 性如 5 5 将对数幅频特性曲线上移 20lgK 20lg7 5 17 5dB 6 6 将各环节对数相频特性曲线合成 4 4 将各环节幅频特性曲线合成 dB 20 lg G G s 1 0 45 90 180 180 90 45 1 0 270 1 2 3 4 1 2 3 45 s 1 2 2 3 5 7 20 40 20 20 把系统开环传递函数化为标准形式 即时间常数形把系统开环传递函数化为标准形式 即时间常数形 式 式 选定对数幅频特性图上各坐标轴的比例尺 选定对数幅频特性图上各坐标轴的比例尺 求出惯性 一阶微分 振荡环节及二阶微分等环节求出惯性 一阶微分 振荡环节及二阶微分等环节 的转角频率 并沿频率轴上由小到大标出的转角频率 并沿频率轴上由小到大标出 根据比例环节根据比例环节K K 计算 计算20lg20lgK K dB dB 在对数坐标纸上 找到频率在对数坐标纸上 找到频率 1 1 rad srad s及幅值为及幅值为20lg20lgK K 的一点 通过此点作斜率为的一点 通过此点作斜率为 2020N N dB dec dB dec 的直线 的直线 N N 为积分环节的个数 如不存在积分环节 则作一条为积分环节的个数 如不存在积分环节 则作一条 幅值为幅值为20log20logK K的水平线 的水平线 3 3 BodeBode图作图思路图作图思路2 2 在每个转角频率处改变渐近线的斜率 如果对应为惯性环节 在每个转角频率处改变渐近线的斜率 如果对应为惯性环节 斜率改变斜率改变 20 dB dec 20 dB dec 二阶振荡环节 斜率改变 二阶振荡环节 斜率改变 40 dB dec 40 dB dec 一阶微分环节 斜率改变一阶微分环节 斜率改变 20 dB dec 20 dB dec 二阶微分环节 斜率改 二阶微分环节 斜率改 变变 40 dB dec 40 dB dec 如此 作到最后一段 最后一段渐近线的斜率 如此 作到最后一段 最后一段渐近线的斜率 应为应为 20 20 N N p p 2 2q q m m 2n2n dB dB decdec 斜率叠加斜率叠加 N N为积分环节的个数 为积分环节的个数 p p为惯性环节的个数 为惯性环节的个数 q q为二阶振荡环节为二阶振荡环节 的个数 的个数 m m为一阶微分环节的个数 为一阶微分环节的个数 n n为二微分环节的个数 为二微分环节的个数 即 即 阶数阶数 20dB dec20dB dec 分母阶次分母阶次 20dB dec20dB dec 分子阶次 分子阶次 20dB dec20dB dec 可以应用上述结论验证图形绘制是否正确 可以应用上述结论验证图形绘制是否正确 如果要求精确对数幅频特性图 可对渐进线进行修正 如果要求精确对数幅频特性图 可对渐进线进行修正 画出每一环节的对数相频特性图 然后把所有组成环节的相频画出每一环节的对数相频特性图 然后把所有组成环节的相频 特性在相同的频率下相叠加 即可得到系统的开环对数相频特特性在相同的频率下相叠加 即可得到系统的开环对数相频特 性 性 有延时环节时 对数幅频特性不变 对数相频则加上有延时环节时 对数幅频特性不变 对数相频则加上 例例例例已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数 2 2 3 10 2 ssss s sG 要求绘制系统开环波德图要求绘制系统开环波德图 要求绘制系统开环波德图要求绘制系统开环波德图 解解 解解 1 1 将将 将将G G s s 化成由典型环节串联组成的标准形式化成由典型环节串联组成的标准形式化成由典型环节串联组成的标准形式化成由典型环节串联组成的标准形式 1 22 1 2 1 1 3 5 7 2 ss ss s sG 可见系统由比例环节可见系统由比例环节 一阶微分环节一阶微分环节 积分环节积分环节 惯性环惯性环可见系统由比例环节可见系统由比例环节 一阶微分环节一阶微分环节 积分环节积分环节 惯性环惯性环 节和振荡环节串联组成节和振荡环节串联组成 其频率特性为其频率特性为节和振荡环节串联组成节和振荡环节串联组成 其频率特性为其频率特性为 1 22 1 2 1 3 5 7 2 jjj j j jG 2 比例环节K 7 5 20lgK 17 5dB 3 转角频率由小到大分别为1 414 2 3 4 通过点 1rad s 20lgK 17 5 画一条斜率为 20dB dec的斜线 即 为低频段的渐近线 此渐进线与通过 1 1 414的垂线相交点 因 1 是二阶振荡环节的转角频率 所以要在此点改变渐进线的斜率 40dB dec 因此渐进线的斜率由 20dB dec改变为 60dB dec 此渐进 线又与通过一阶惯性环节的转角频率 2 2的垂线相交点改变渐进线 的斜率由 60dB dec改变为 80dB dec 当渐进线通过一阶微分环节的 转角频率 3 3的垂线相交点时改变渐进线的斜率由 80dB dec改变 为 60dB dec 这几段渐进线的折线即为对数幅频特性 1 22 1 2 1 3 5 7 2 jjj j j jG 5 在转角频率处 利用误差修正曲线对对数幅频特性曲线进行必要的 修正 6 根据式画出各典型环节的相频特性曲线 线性叠加后即得系统的相 频特性曲线 4 4 4 4 最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统 1 1 定义定义 若系统传递函数G s 的所有零点和极点均在 s 平面的左半平面 则称G s 为 最小相位传递函数 具有此传递函数的系统称为 最 小相位系统 反之 若G s 有零点或极点在 s 平面的右半平面 则 称其为 非最小相位传递函数 相应的系统称为 非最小相位系 统 2 2 性质性质 1 具有相同幅频特性的系统 最小相位系统相位变化范围最小 2 最小相位系统一定是稳定系统 但稳定系统不一定是最小相位系 统 1 1 在在在在 时时 对数幅频特性曲线的斜率为对数幅频特性曲线的斜率为时时 对数幅频特性曲线的斜率为对数幅频特性曲线的斜率为 L Lk k 20 20 n n mm dB dec dB dec 4 4 6161 2 2 2 2 对于最小相位系统的相位特性对于最小相位系统的相位特性 对于最小相位系统的相位特性对于最小相位系统的相位特性 9090 n n mm 4 4 62 62 这里这里这里这里n n和和和和mm分别为传递函数中分母和分子多项式的阶次分别为传递函数中分母和分子多项式的阶次 分别为传递函数中分母和分子多项式的阶次分别为传递函数中分母和分子多项式的阶次 在最小相位系统中在最小相位系统中 在最小相位系统中在最小相位系统中 对数幅频特性的变化趋势和相频特性对数幅频特性的变化趋势和相频特性对数幅频特性的变化趋势和相频特性对数幅频特性的变化趋势和相频特性 的变化趋势是一致的的变化趋势是一致的的变化趋势是一致的的变化趋势是一致的 幅频特性的斜率增加或者减少时幅频特性的斜率增加或者减少时 幅频特性的斜率增加或者减少时幅频特性的斜率增加或者减少时 相频特性的角度也随之增加或者减少相频特性的角度也随之增加或者减少 因而由因而由相频特性的角度也随之增加或者减少相频特性的角度也随之增加或者减少 因而由因而由对数幅频对数幅频对数幅频对数幅频 特性即可唯一地确定其相频特性特性即可唯一地确定其相频特性特性即可唯一地确定其相频特性特性即可唯一地确定其相频特性 一个最小相位系统满足下面的条件一个最小相位系统满足下面的条件一个最小相位系统满足下面的条件一个最小相位系统满足下面的条件 4 5 4 5 频率特性的特征量频率特性的特征量 1 1 由开环频率特性估计闭环频率特性由开环频率特性估计闭环频率特性由开环频率特性估计闭环频率特性由开环频率特性估计闭环频率特性 对于如图对于如图 对于如图对于如图 4 4 2929 所示的系统所示的系统 其开环频率特性为其开环频率特性为 所示的系统所示的系统 其开环频率特性为其开环频率特性为 G G j j HH j j 而该系统闭环频率特性为而该系统闭环频率特性为 而该系统闭环频率特性为而该系统闭环频率特性为 1 jHjG jG jX jY j G j H j X j Y j 图图 4 29 典型闭环系统框图典型闭环系统框图 1 1 1 jHjG jHjG jHjHjG jG j 显然显然 此式右边的后一项可看作是单位反馈系统的频率特此式右边的后一项可看作是单位反馈系统的频率特显然显然 此式右边的后一项可看作是单位反馈系统的频率特此式右边的后一项可看作是单位反馈系统的频率特 性性 其前向通道频率特性为其前向通道频率特性为性性 其前向通道频率特性为其前向通道频率特性为G G j j HH j j 再乘以再乘以再乘以再乘以1 1 HH j j 即即 即即 得到得到得到得到 j j 令令 G GK K j j G G j j HH j j 则则则则 研究单位反馈系统的研究单位反馈系统的研究单位反馈系统的研究单位反馈系统的 j j 与与与与G G j j 之间的关系并不丧失问题之间的关系并不丧失问题之间的关系并不丧失问题之间的关系并不丧失问题 的一般性的一般性 因为在一般情况下因为在一般情况下 的一般性的一般性 因为在一般情况下因为在一般情况下 1 1 jG jG jH j K K 2 2 频率特性的特征量频率特性的特征量 1 1 零频值零频值A A 0 0 它表示频率接近于零时 系统输出 的幅值与输入的幅值之比 2 2 复现带宽频率复现带宽频率 幅频特性值与A 0 的差第一次达到 时的频率值 称为复现频率 0 表征复现低频输入信号的带宽 称为复 现带宽 M M 3 3 谐振频率谐振频率 相对谐振峰值相对谐振峰值 幅频特性A 出现最大值Amax时的频率称为谐振频率 r 最大值与零频值 之比为相对谐振峰值 r r A 0 max AA 4 4 截止频率截止频率 b b 截止带宽截止带宽0 0 b b