点线面位置关系复习.ppt

考纲下载 1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 第5讲直线 平面垂直的判定及其性质 直线和平面垂直的定义如果一条直线l和一个平面 内的直线都垂直 那么就说直线l和平面 互相垂直 提示 定义中的 任意一条直线 这一词语 它与 所有直线 是同义词 与 无数条直线 不是同义词 任意一条 1 直线和平面垂直的定理 1 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 2 性质定理 如果两条直线于一个平面 那么这两条直线平行 相交 同垂直 2 思考 垂直于同一平面的两条直线互相平行 垂直于同一直线的两个平面互相平行 垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行 以上四个命题 你说有几个正确的 答案 正确 错误 平面和平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 平面和平面垂直的定理 1 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的 那么这两个平面互相垂直 2 性质定理 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于的直线 垂直于另一个平面 直角 一条垂线 它们交线 4 3 思考 你能用数学符号来表示这两个定理吗 答案 判定定理 a a 性质定理 a b b a b 已知直线m n和平面 满足m n m 则 A n B n 或n C n D n 或n 解析 由 m 或m 当m 时若n m 则n与 的位置关系不确定 从而A B两项不正确 若n 又m 则m n 这与已知m n矛盾 故排除C项 答案 D 1 2009 山东卷 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析 由面面垂直的判定定理 知m 答案 B 2 3 如图所示 ABCD A1B1C1D1为正方体 下面结论错误的是 A BD 平面CB1D1B AC1 BDC AC1 平面CB1D1D 异面直线AD与CB1所成的角为60 解析 异面直线AD与CB1所成的角为45 答案 D 4 P为 ABC所在平面外一点 且PA PB PC两两垂直 则下列命题 PA BC PB AC PC AB AB BC 其中正确的个数是 解析 如图所示 PA PC PA PB PC PB P PA 平面PBC 又 BC 平面PBC PA BC 同理PB AC PC AB 但AB不一定垂直于BC 答案 3个 证明直线和平面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直 在证明时要充分利用平面几何中的知识 以达到通过平面内的垂直关系证明空间中的垂直关系的目的 如图所示 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 求证 1 CD AE 2 PD 平面ABE 思维点拨 1 先证CD 平面PAC 2 先证AE 平面PCD 再证PD 平面ABE 例1 证明 1 PA 底面ABCD CD PA 又CD AC PA AC A 故CD 平面PAC AE 平面PAC 故CD AE 2 PA AB BC ABC 60 故PA AC E是PC的中点 故AE PC 由 1 知CD AE 从而AE 平面PCD 故AE PD 易知BA PD 故PD 平面ABE 如图所示 已知PA 矩形ABCD所在平面 M N分别是AB PC的中点 1 求证 MN CD 2 若 PDA 45 求证 MN 平面PCD 变式1 证明 1 连结AC AN BN PA 平面ABCD PA AC 在Rt PAC中 N为PC中点 AN PC PA 平面ABCD PA BC 又BC AB PA AB A BC 平面PAB BC PB 2 连结PM MC PDA 45 PA AD AP AD 四边形ABCD为矩形 AD BC PA BC 又 M为AB的中点 AM BM 而 PAM CBM 90 PM CM 又N为PC的中点 MN PC 由 1 知 MN CD PC CD C MN 平面PCD 从而在Rt PBC中 BN为斜边PC上的中线 BN PC AN BN ABN为等腰三角形 又M为底边的中点 MN AB 又 AB CD MN CD 证面面垂直的方法 1 利用面面垂直的定义 即证明两平面所成的二面角为直二面角 2 利用两个平面垂直的判定定理 即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线 a a 如图所示 已知 BCD中 BCD 90 BC CD 1 AB 平面BCD ADB 60 E F分别是AC AD上的动点 且 1 求证 不论 为何值 恒有平面BEF 平面ABC 2 当 为何值时 平面BEF 平面ACD 例2 证明 1 AB 平面BCD AB CD 又 CD BC且AB BC B CD 平面ABC 0 1 不论 为何值 恒有EF CD EF 平面ABC 而EF 平面BEF 不论 为何值 恒有平面BEF 平面ABC 2 解 由 1 知 BE EF 若平面BEF 平面ACD 则BE 平面ACD 故BE AC BC CD 1 BCD 90 ADB 60 AC 由AB2 AE AC 得 平面BEF 平面ACD 如右图 在四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD AB DC PAD是等边三角形 已知BD 2AD 8 AB 2DC 4 1 设M是PC上的一点 证明 平面MBD 平面PAD 2 求四棱锥P ABCD的体积 变式2 证明 1 在 ABD中 AD 4 BD 8 AB 4 AD2 BD2 AB2 AD BD 又 面PAD 面ABCD 面PAD 面ABCD AD BD 面ABCD BD 面PAD 又BD 面BDM 面MBD 面PAD 2 解 过P作PO AD 面PAD 面ABCD PO 面ABCD 即PO为四棱锥P ABCD的高 又 PAD是边长为4的等边三角形 PO 2 在底面四边形ABCD中 AB DC AB 2DC 四边形ABCD为梯形 在Rt ADB中 斜边AB边上的高为 此即为梯形的高 S四边形ABCD 24 VP ABCD 垂直和平行关系在立体几何问题中无处不在 对垂直和平行关系证明的考查是每年高考必考的内容 多以简单几何体尤其是棱柱 棱锥为主 或直接考查垂直和平行关系的判断及证明 或通过求角和距离间接考查 试题灵活多样 因此 在平时的复习中要善于总结 归纳并掌握此类问题的通性通法 加强空间想象能力 逻辑思维能力及语言表达能力的训练 2009 江苏 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 E F分别是A1B A1C的中点 点D在B1C1上 A1D B1C 求证 1 EF 平面ABC 2 平面A1FD 平面BB1C1C 思维点拨 1 先证EF BC 再证EF 平面ABC 2 先证A1D 平面BB1C1C 例3 证明 1 由E F分别是A1B A1C的中点知EF BC 因为EF 平面ABC BC 平面ABC 所以EF 平面ABC 2 由三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱知CC1 平面A1B1C1 又A1D 平面A1B1C1 故CC1 A1D 又因为A1D B1C CC1 B1C C CC1 B1C 平面BB1C1C 故A1D 平面BB1C1C 又A1D 平面A1FD 所以平面A1FD 平面BB1C1C 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 点D在边BC上 AD C1D 1 求证 AD 平面BCC1B1 2 设E是B1C1上的一点 当的值为多少时 A1E 平面ADC1 请给出证明 变式3 证明 1 在正三棱柱中 CC1 平面ABC AD 平面ABC AD CC1 又AD C1D CC1交C1D于C1 且CC1和C1D都在平面BCC1B1内 AD 平面BCC1B1 2 解 由 1 得AD BC 在正三角形ABC中 D是BC的中点 当 1 即E为B1C1的中点时 A1E 平面ADC1 在正三棱柱ABC A1B1C1中 四边形BCC1B1是矩形 且D E分别是BC B1C1的中点 B1B DE B1B DE 又B1B AA1 且B1B AA1 DE AA1 且DE AA1 四边形ADEA1为平行四边形 A1E AD 而A1E 平面ADC1 故A1E 平面ADC1 方法规律 1 垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 如有平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 故熟练掌握 线线垂直 面面垂直 间的转化条件是解决这类问题的关键 2 应用三垂线定理及其逆定理应注意的问题 1 两个定理中 平面内 这个条件不能省略 否则不一定成立 需要进一步证明 2 两个定理的区别 从两个定理的条件和结论上区分 三垂线定理是 线与射影垂直 线与斜线垂直 逆定理相反 从两个定理的作用上区分 三垂线定理解决已知共面直线垂直 证明异面直线垂直 逆定理相反 利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出 平面的垂线 平面的斜线 斜线的射影 12分 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为DD1 DB的中点 1 求证 EF 平面ABC1D1 2 求证 EF B1C 规范解答 证明 1 连结BD1 如图所示 在 DD1B中 E F分别为DD1 DB的中点 则 EF 平面ABC1D1 6分 易入误区 1 推理论证不严谨 在使用线面位置关系的判定定理 性质定理时忽视定理的使用条件 如由EF D1B就直接得出EF 平面ABC1D1 2 线面位置关系的证明思路出错 如本题第 2 问的证明 缺乏转化的思想意识 不知道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的