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第五章线性系统的频域分析法 5 1频率特性 5 2典型环节与开环系统的频率特性 5 3频域稳定判据 5 4频域稳定裕度 5 5闭环系统的频域性能指标 基本要求 1 正确理解频率特性的概念 2 熟练掌握典型环节的频率特性 熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线 3 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的幅相曲线 及开环对数频率曲线的方法 4 熟练掌握奈奎斯特稳定判据及其应用 5 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法 6 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系 5 1频率特性 一 基本概念系统传递函数令 s j 得到另一个复变函数 即频率特性 实部 虚部表示 P Q 分别为频率 的函数 幅值 幅角表示 A 分别为频率 的函数 引例5 1RC电路如图所示 线性系统的稳态正弦响应 写成幅值与幅角表达式 幅频特性 相频特性 两条特性曲线如图 二 频率特性的定义已知线性定常系统 输入信号为r t 其付氏变换存在为R j 系统的输出信号为c t 其付氏变换为C j 定义线性定常系统的频率特性为输出信号的付氏变换C j 与输入信号的付氏变换R j 之比 表为 幅相曲线又称极坐标图 奈奎斯特 Nyquist 图复变函数G j 表为实部 虚部或表为模 相位角复平面曲线如图所示 三 频率特性的几何表示法 曲线实轴对称 1 幅相频率特性曲线 2 对数频率特性曲线又称为波德 Bode 图由于分别作两张图A 幅频特性 是频率 的函数 相频特性 是频率 的函数如一阶RC网络 徒手描点不方便 展示不清晰 分别将A 作对数变换即成为波德 Bode 图 对数幅频特性L 将两坐标轴分别取对数作为新的坐标轴如图所示 纵轴 横轴 对数相频特性 纵轴 不取对数横轴 波德图优点 1 波德图展宽频带 可视频带 粗 表示频带 精 2 基本环节都可以由渐近线画出 3 叠加作图作图方便 例如对数幅频特性对数相频特性 5 2典型环节的频率特性 一 比例环节频率特性波德图幅值为幅频特性幅角为相频特性极坐标图 二 积分环节频率特性幅值为幅角为极坐标图幅频特性相频特性波德图 三 微分环节频率特性幅值为幅角为极坐标图波德图幅频特性相频特性 四 一阶惯性环节 实部与虚部表达式 模角表达式 幅值为 幅角为 由于 极坐标图 频率特性 可以证明 轨迹为一圆 波德图对数幅频特性可用渐近线作图交点为对数相频特性两边反对称 渐近线作图的折线误差处应有最大误差 代入模表达式误差特性如图误差修正如图 五 一阶微分环节频率特性极坐标图幅频特性相频特性波德图对数幅频特性对数相频特性可依一阶惯性环节反对称画出 六 二阶振荡环节传递函数令为时间常数 代入上式频率特性为 极坐标图幅频特性相频特性极限点有由于幅角单调减幅值先增后减 有极值由谐振频率谐振峰值阻尼比不同时 极坐标图如图所示 波德图对数幅频特性渐近线作图粗实线所示 交点为阻尼比 不同时 0 707无谐振峰值 0 707临界谐振 0 707有谐振峰值3条特性如图所示 二阶振荡环节波德图对数相频特性由于三个特征角度阻尼比 不同时 在邻域角度变化率不同如图 二阶振荡环节波德图 七 二阶微分环节传递函数频率特性极坐标图波德图参照二阶振荡环节 横轴对称画出 八 延迟环节传递函数频率特性幅值恒为1幅角极坐标图波德图 一 开环极坐标图作图 三要素 由于 因此极坐标图需要描点作图 但是 系统分析 特别是稳定性分析 可以徒手作极坐标草图 开环频率特性为其中 5 3控制系统开环频率特性作图 1 极坐标图的起点由于所以模角所以 不同时 极坐标图的起点如图所示 极坐标图的起点由 和K0决定 2 极坐标图的终点由于模角所以 极坐标图的终点如图所示 极坐标图的终点由n m决定 3 极坐标图的变化趋势象限单调性与实轴交点 下一页 坐标轴穿越点与单位圆穿越点坐标轴穿越点处 为角度的整数倍角 单位圆穿越点处 模为单位1 例已知开环传递函数为试作其极坐标草图 解由于 1 起点位于负虚轴无穷远处 由于n m 2 曲线以相位角 180 趋于原点 幅角为 增加时 单调减 趋势作图如图所示 该题简单 可由解析法作图 解析法作图近似草图解析法作图 例开环传递函数为试作出极坐标图的草图 解由于 2 曲线起于负虚轴 由于n m 3 曲线以 270 终于原点 相角由 180 先减后增 作草图 二 开环对数频率特性作图结构图开环传递函数开环频率特性分解基本环节则开环对数幅频特性开环对数相频特性 1 典型环节叠加作图例5 2系统开环传递函数为作开环系统波德图 解写出基本环节1 2 3 4 5 对数幅频特性在图上作叠加合成 对数幅频特性作出各基本环节的对数相频特性如图 叠加 得到叠加时 粗略地做环节特征点叠加即可 2 转折渐进作图由于步骤一 确定低频段斜率和低频段高度 作出低频段曲线至第一转折频率 在低频段有在低频段作出Lo低和 0低 步骤二 由于全部为一阶因子或者二阶因子 均在转折频率处发生向上或者向下转折 斜率分别为 20dB dec 40dB dec等 从低频段到高频段逐步前进 以渐进方式作出折线特性 例5 3已知单位反馈系统的开环传递函数为作对数开环频率特性 解低频段为为 1 58处过0dB线的积分特性 作斜率为 20dB dec 过 1 58的斜线如图所示 转折特性为 作转折渐进表 幅频特性 转折渐进 作出折线图 对数相频特性低频段特性 0低 90 高频段特性 0高 180 每一个转折频率处 有 一阶因子 45 特征点 二阶因子 90