高二数学圆锥曲线复习课.ppt

圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义 标准方程 几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系 一 知识点框架 双曲线的定义 椭圆的定义 圆锥曲线的统一定义 第二定义 二 基础知识点梳理 1 圆锥曲线的定义 椭圆的标准方程 双曲线的标准方程 抛物线的标准方程 2 圆锥曲线的标准方程 椭圆 抛物线 双曲线 3 圆锥曲线的性质 通径长 焦点弦 范围 对称性 顶点 离心率 焦点 x轴 y轴 原点对称 长轴长为2a 短轴长为2b 关于焦点所在轴对称 x轴 y轴 原点对称 长轴长为2a 短轴长为2b 焦半径 通径长 渐近线 无 无 准线 4 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的交点 计算 注意特殊情况 直线与圆锥曲线的弦长 弦长公式 直线与圆锥曲线的弦中点 韦达定理或点差法 1 弦长公式 注意 一直线上的任意两点都有距离公式或弦长公式 2 面积公式 消元 3 直线与圆锥曲线有关弦的中点问题 解题思路 5 焦点三角形性质 焦点在x轴上的椭圆 焦点在x轴上的双曲线 焦点在x轴上的椭圆 焦点在x轴上的双曲线 圆锥曲线定义的应用 技法点拨 圆锥曲线定义的应用技巧 1 在求点的轨迹问题时 若所求轨迹符合圆锥曲线的定义 则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程 2 焦点三角形问题 在椭圆和双曲线中 常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的 焦点三角形 处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决 3 在抛物线中 常利用定义 以达到 到焦点的距离 和 到准线的距离 的相互转化 例1 1 一动圆与两圆 x2 y2 1和x2 y2 6x 5 0都外切 则动圆圆心的轨迹为 A 抛物线 B 双曲线 C 双曲线的一支 D 椭圆 2 2011 辽宁高考 已知F是抛物线y2 x的焦点 A B是该抛物线上的两点 AF BF 3 则线段AB的中点到y轴的距离为 A B 1 C D C C 练习一 例2 已知点P是椭圆一点 F1和F2是椭圆的焦点 若 F1PF2 90 求 F1PF2的面积 若 F1PF2 60 求 F1PF2的面积 若 F1PF2 求 F1PF2的面积 改成双曲线呢 例3 已知点P是椭圆上一点 F1和F2是椭圆的左右焦点 求 练习二 C 例4 已知抛物线y x2 动弦AB的长为2 求AB中点纵坐标的最小值 练习三 求圆锥曲线的方程 技法点拨 1 求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题 可采用 先定形 后定式 再定量 的步骤 1 定形 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 2 定式 根据 形 设方程的形式 注意曲线系方程的应用 如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时 可设方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 3 定量 由题设中的条件找到 式 中待定系数的等量关系 通过解方程得到量的大小 2 求椭圆 双曲线的标准方程最常用方法为定义法 待定系数法 求解时注意有两个定形条件 如已知a b c e中的任意两个 和一个定位条件 对称轴 焦点或准线等 对于双曲线要注意双曲线与渐近线的关系 这两条渐近线方程可以合并表示为 一般地 与双曲线有共同渐近线的双曲线方程是 3 求抛物线标准方程需一个定位条件 如顶点坐标 焦点坐标或准线方程 以及一个定形条件 即已知p 4 几个注意点 1 在求解对应圆锥曲线方程时 还要特别注意隐含条件 如双曲线有c2 a2 b2 椭圆有a2 b2 c2 2 求轨迹方程 和 求轨迹 是两个不同概念 求轨迹 除了首先要求我们求出方程 还要说明方程轨迹的形状 这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形状的对应关系了如指掌 例1 1 已知点P 3 4 是双曲线渐近线上的一点 E F是左 右两个焦点 若则双曲线方程为 A B C D 2 2011 新课标全国高考 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的中心为原点 焦点F1 F2在x轴上 离心率为过F1的直线l交C于A B两点 且 ABF2的周长为16 那么C的方程为 解析 1 选C 不妨设E c 0 F c 0 则 3 c 4 3 c 4 25 c2 0 所以c2 25 可排除A B 又由D中双曲线的渐近线方程为点P不在其上 排除D 故选C 2 设椭圆方程为因为离心率为 所以解得即a2 2b2 又 ABF2的周长为 AB AF2 BF2 AF1 BF1 BF2 AF2 AF1 AF2 BF1 BF2 2a 2a 4a 所以4a 16 a 4 所以所以椭圆方程为答案 想一想 解答题1的方法有哪些 解答题2的关键点是什么 提示 1 解答题1可利用排除法 也可利用待定系数法直接求解 2 解答题2的关键点是将过焦点的三角形的边利用椭圆定义转化为与长轴长2a的关系 练习四 圆锥曲线的性质及应用 技法点拨 圆锥曲线性质的求解方法椭圆 双曲线 抛物线的几何性质 主要指图形的范围 对称性 以及顶点坐标 焦点坐标 中心坐标 离心率 准线 渐近线以及几何元素a b c e之间的关系等 1 离心率求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形 寻找与a b c有关的关系式 对于求椭圆和双曲线的离心率 有两种方法 1 代入法就是代入公式求离心率 2 列方程法就是根据已知条件列出关于a b c的关系式 然后把这个关系式整体转化为关于e的方程 解方程即可求出e值 2 范围解答范围问题时特别注意题中隐含的不等关系 如曲线方程中x y的范围 常用方法也有两个 1 解不等式法 即根据题设条件列出关于待求量的不等式 解不等式即得其取值范围 2 求函数值域法 即把待求量表示成某一变量的函数 函数的值域即为待求量的取值范围 3 最值圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度 图形面积等 研究的常见途径有两个 1 利用平面几何中的最值结论 2 把几何量用目标函数表示出来 再用函数或不等式知识求最值 建立 目标函数 借助代数方法求最值 要特别注意自变量的取值范围 例1 2011 福建高考 设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1 F2 若曲线C上存在点P满足 PF1 F1F2 PF2 4 3 2 则曲线C的离心率等于 A B C D 解析 选A 设 F1F2 2c c 0 由已知 PF1 F1F2 PF2 4 3 2 得且 PF1 PF2 若圆锥曲线C为椭圆 则2a PF1 PF2 4c 离心率若圆锥曲线C为双曲线 则离心率 归纳 解答本题的注意点 提示 解答本题对已知条件利用时 要分类讨论 同时注意对椭圆及双曲线定义的理解 直线与圆锥曲线 技法点拨 1 直线与圆锥曲线交点问题的解题思路直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论 即联立方程组通过消去y 也可以消去x 得到x的方程的形式 并对方程进行讨论 这时要注意考虑a 0和a 0两种情况 对双曲线和抛物线而言 一个公共点的情况除a 0 0外 直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时 都只有一个交点 此时直线与双曲线 抛物线属相交情况 2 中点弦问题的常规处理方法 1 通过方程组转化为一元二次方程 结合根与系数的关系及中点坐标公式进行求解 2 点差法 设出两端点的坐标 利用中点坐标公式求解 3 中点转移法 先设出一个端点的坐标 再借助中点设出另一个端点的坐标 而后消去二次项 3 直线与圆锥曲线相交弦长的求解方法利用弦长公式求解 直线l y kx b与圆锥曲线交于A x1 y1 B x2 y2 则弦长为 1 当斜率k不存在时 可求出交点坐标 直接利用两点间距离公式求解 2 利用圆锥曲线的定义求解 求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度 应用圆锥曲线的定义 转化为两个焦半径之和求解 例1 过点 0 2 与抛物线只有一个公共点的直线有 A 1条 B 2条 C 3条 D 无数多条 C 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 变式题 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A 2 3 且点F 2 0 为其右焦点 1 求椭圆C的方程 2 是否存在平行于OA的直线l 使得直线l与椭圆C有公共点 且直线OA与l的距离等于4 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 解析 1 依题意 可设椭圆C的方程为且可知左焦点为F 2 0 从而有解得又a2 b2 c2 所以b2 12 故椭圆C的方程为 2 不存在 假设存在符合题意的直线l 其方程为由得3x2 3tx t2 12 0 因为直线l与椭圆C有公共点 所以 3t 2 4 3 t2 12 0 解得 另一方面 由直线OA与l的距离d 4可得从而由于所以符合题意的直线l不存在 归纳 本题考查了哪几种能力 解题中容易忽视的地方是什么 提示 本题主要考查了运算求解能力 推理论证能力 解题中容易忽略 0 而导致出错 课堂互动讲练 例1 2008年高考北京卷 已知 ABC的顶点A B在椭圆x2 3y2 4上 C在直线l y x 2上 且AB l 1 当AB边通过坐标原点O时 求AB的长及 ABC的面积 2 当 ABC 90 且斜边AC的长最大时 求AB所在直线的方程 思路点拨 1 首先由条件求出直线AB的方程 然后联立直线与椭圆的方程 整理成关于x的一元二次方程 利用根与系数的关系求出弦长 AB 进而求出 ABC的面积 2 首先用待定系数法设出直线AB的方程 然后建立斜边长 AC 是某一变量的函数关系式 最后求出函数取最大值时的变量值 进而求出直线AB的方程 在解题时 注意运用函数的思想方法 解 1 因为AB l 且AB边通过点 0 0 所以AB所在直线的方程为y x 设A B两点坐标分别为 x1 y1 x2 y2 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 所以 AC 2 AB 2 BC 2 m2 2m 10 m 1 2 11 所以当m 1时 AC边最长 这时 12 64 0 此时AB所在直线的方程为y x 1 例3 1 求抛物线y2 2x过点 2 0 的弦的中点轨迹 3 例2 1 求椭圆上的点 与定点 0 1 的最大距离 与直线2x y 10 0的最大距离 分类讨论思想 技法点拨 分类讨论思想的认识及应用分类讨论思想 实际上是 化整为零 各个击破 再积零为整 的策略 分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则 方法和技巧 做到确定对象的全体 明确分类的标准 不重不漏地讨论 例1 椭圆的中心是坐标原点 长轴在x轴上 离心率已知点到这个椭圆上点的最远距离为求这个椭圆方程 并求椭圆上到点P的距离为的点的坐标 解析 设椭圆方程为由a2 b2 c2得a 2b 故椭圆方程可化为设M x y 是椭圆上任意一点 则x2 4b2 4y2 b y b 讨论与 b b 间的关系 若则当时 若则当y b时 矛盾 综上所述b 1 故所求椭圆方程为 时 椭圆上到P点的距离为的点有两个 分别为 思考 分类讨论解题的一般步骤是怎样的 提示 分类讨论解题的一般步骤为 确定分类标准及对象 进行合理地分类 逐类进行讨论 归结各类结果 2 椭圆与双曲线有相同的焦点 则a的值是 A 2 B 1 C D 3 解析 选B 因椭圆与双曲线有相同的焦点 所以有0 a 2且4 a2 a 2得a2 a 2 0 得a 1 3 求过定点A 5 0 且与圆x2 y2 10 x 11 0相外切的动圆的圆心轨迹是 A B C D 解析 选B x2 y2 10 x 11 0化为标准形式是 x 5 2 y2 36 则圆心为B 5 0 半径为6 设动圆的圆心为M x y 则当两圆外切时 有 MB 6 MA 则 MB MA 6 符合双曲线定义 M为双曲线左支 其中2a 6 2c 10 则b 4 所以双曲线方程为 4 2012 新课标全国高考 等轴双曲线C的中心在原点 焦点在x轴上 C与抛物线y2 16x的准线交于A B两点 AB 则C的实轴长为 A B C 4 D 8 解析 选C 设双曲线的方程为抛物线的准线为x 4 且故可得将点A坐标代入双曲线方程得a2 4 故a 2 故实轴长为4 5 已知椭圆中心在原点 一个焦点为且长轴长是短轴长的2倍 则该椭圆的标准方程是 解析 依题意 得2a 2 2b 即a 2b 又a2 b2 c2 解之得a 4 b 2 椭圆标准方程为答案 6 设双曲线 的焦点为F1 F2 离心率为2 则双曲线的渐近线方程是 解析 由已知双曲线的离心率为2得 解得a2 1 代入双曲线方程中得 所以渐近线方程为答案 7 直线l y kx 1与曲线C 交于M N两点 当 MN 时 求直线l的方程 解析 由消去y得 1 2k2 x2