维随机变量(概率论与数理统计).ppt

第三章 多维随机变量及其分布 在实际问题中 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的r v 来描述 例如用温度和风力来描述天气情况 通过对含碳 含硫 含磷量的测定来研究 需考虑多维r v 及其取值规律 多维分布 钢的成分 要研究这些r v 之间的联系 就 第一节二维随机向量及其分布 1 二维随机向量及其分布函数 简记为 X Y 定义1 设E是一个随机试验 它的样本空间是 设X e 与Y e 是定义在同一样本空间 上的两个随机变量 则称 X e Y e 为 上的二维随机向量或二维随机变量 定义2 设 X Y 是二维随机向量 对于任意实数x y 称 二元函数 为二维随机向量 X Y 的分布函数或联合分布函数 分布函数的几何意义 如果用平面上的点 x y 表示二维r v X Y 的一组可能 区域的概率 x y 的取值 则F x y 表示 X Y 的取值落入下图所示角形 X Y 的分布函数满足如下基本性质 2 1 F x y 是变量x y的不减函数 F b d F b c F a d F a c 0 事实上 F b c F a d F a c F b d 例1 设 讨论F x y 能否成为二维r v 的分布函数 解 x y 1 故F x y 不能作为某二维r v 的分布函数 2 二维离散型随机变量 定义3 若二维随机向量 X Y 的所有可能取值是有限 1 非负性 对或无限可列多对 则称 X Y 为二维离散型随机向量 各对可能值的概率为 离散型随机变量 X Y 的概率分布或分布律 或随机 变量X和Y的联合分布律 离散型随机变量X Y的联合分布函数为 X Y 的分布律也可用表格形式表示 例2 从一个装有2个红球 3个白球和4个黑球的袋中随机 解 X的可能值为0 1 2 Y的可能为0 1 2 3 X Y 的所有可 由古典概率计算可得 地取3个球 设X和Y分别表示取出的红球数和白球数 求 X Y 的分布律 并求P X 1 Y 2 P X Y 2 及P X 1 能值为 0 0 0 1 0 2 0 3 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 于是 X Y 的分布可用表示 由 X Y 的分布 律 所求概率为 设离散型随机变量 X Y 的分布律为 则 X Y 的分布函数为 3 二维连续型随机变量 定义5 设 X Y 为二维随机向量 X Y 的分布函数为 有 简称为概率密度 概率密度f x y 的性质 例3设随机变量 X Y 的概率密度为 求 1 系数A 例4若 X Y 试求 1 常数A 2 P X 2 Y 1 3 P X x Y y 解 1 所以 A 6 A 6 1 4 P X Y D 其中D为2x 3y 6 所以 P X 2 Y 1 2 1 X 2 Y 1 3 x y 所以 当x 0 y 0时 即 4 P X Y D 其中D为2x 3y 6 3 2 2x 3y 6 设G是平面上的有界区域 其面积为A 若二维随机变量 X Y 的概率密度为 设 X Y 在区域G上服从均匀分布 D为G内的一区域 即D G 且D的面积为S D 那么 二维均匀分布 则称 X Y 在区域G上服从均匀分布 若 X Y 的概率密度为 二维正态分布 Clear f x y f x y Exp x 2 y 2 2 2Pi Plot3D f x y x 3 3 y 3 3 ViewPoint 2 869 1 790 0 110 AspectRatio 0 6 PlotPoints 30 二维正态分布图 二维正态分布剖面图 4 n维随机变量 设E是一个随机试验 它的样本空间是 e 设随机变