空间点、直线、平面之间的位置关系.ppt

1 理解空间直线 平面位置关系的定义 2 了解可以作为推理依据的公理和定理 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 1 平面的基本性质 2 直线与直线的位置关系 2 平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行 思考探究 垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系 提示 可能平行 相交或异面 3 3 直线和平面的位置关系 4 平面与平面的位置关系 1 用符号表示 点A在直线l上 l在平面 外 正确的是 A A l l B A l l C A l l D A l l 解析 本小题考查立体几何中的符号语言 答案 B 2 已知a b是异面直线 直线c a 则c与b A 一定是异面直线B 一定是相交直线C 不可能是平行直线D 不可能是相交直线 解析 c与b不可能是平行直线 否则c b 又c a 则有a b 与a b异面矛盾 答案 C 3 直线a b c两两平行 但不共面 经过其中两条直线的平面的个数为 A 1B 3C 6D 0 解析 如图所示 可知确定3个平面 答案 B 4 若直线l上有两点到平面 的距离相等 则直线l与平面 的关系是 解析 当这两点在 的同侧时 l与 平行 当这两点在 的异侧时 l与 相交 答案 平行或相交 5 文 如图 点P Q R S分别在正方体的四条棱上 且是所在棱的中点 则直线PQ与RS是异面直线的一个图是 解析 中PQ RS 中RS PQ 中RS和PQ相交 答案 理 在正方体ABCD A1B1C1D1中 若M为棱BB1的中点 则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是 解析 如图所示 取CC1的中点N 连结MN DN 则MNAD 四边形AMND为平行四边形 AMDN B1DN即为异面直线所成角 连结B1N 设正方体棱长为a 则B1D a DN a B1N a cos B1DN 答案 1 公理2的三个推论推论1 经过一条直线和直线外的一点 有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 这三个推论可以作为证明共面问题的理论依据 2 证明共面问题主要包括线共面 点共面两种情况 其常用方法如下 1 纳入平面法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 2 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 如图 四边形ABEF和ABCD都是直角梯形 BAD FAB 90 BCAD BEFA G H分别为FA FD的中点 1 证明 四边形BCHG是平行四边形 2 C D F E四点是否共面 为什么 思路点拨 2 方法一 证明D点在EF CH确定的平面内 方法二 延长FE DC分别与AB交于M M 可证M与M 重合 从而FE与DC相交 课堂笔记 1 证明 由已知FG GA FH HD 可得GHAD 又BCAD GHBC 四边形BCHG是平行四边形 2 法一 由BEAF G为FA中点知BEGF 四边形BEFG为平行四边形 EF BG 由 1 知BG CH EF CH EF与CH共面 又D FH C D F E四点共面 法二 如图 延长FE DC分别与AB交于点M M BEAF B为MA的中点 BCAD B为M A的中点 M与M 重合 即EF与CD相交于点M M C D E F四点共面 1 证明共线问题的理论依据公理3 如果不重合的两个平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过这个点的公共直线 2 证明共线问题的常用方法 1 可由两点连一条直线 再验证其他各点均在这条直线上 2 可直接验证这些点都在同一条特定的直线上 相交两平面的唯一交线 关键是通过绘出图形 作出两个适当的平面或辅助平面 证明这些点是这两个平面的公共点 如图 在四面体ABCD中作截面PQR PQ CB的延长线交于M RQ DB的延长线交于N RP DC的延长线交于K 求证 M N K三点共线 思路点拨 课堂笔记 M N K在平面BCD与平面PQR的交线上 即M N K三点共线 在四面体ABCD中 E F G H分别是AB AD BC CD上的点 且EF GH P 求证 B D P三点共线 证明 E AB F AD EF 平面ABD 同理 GH 平面BCD 又EF GH P P 平面ABD P 平面BCD 而平面ABD 平面BCD BD P 直线BD 即B D P三点共线 1 异面直线的判断方法 1 定义法 由定义判断两直线不可能在同一平面内 2 反证法 反证法是证面异面直线的常用方法 定义法仅仅用来直观判断 直观判断还可用以下结论 过平面外一点与平面内一点的直线 和平面内不经过该点的直线是异面直线 2 理 异面直线所成角 1 求异面直线所成的角常用方法是平移法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成角的步骤 作 通过作平行线 得到相交直线 证 证明相交直线所成的角为异面直线所成的角 求 通过解三角形 求出该角 2009 辽宁高考改编 如图 已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一个平面内 M N分别为AB DF的中点 1 文 若CD 2 平面ABCD 平面DCEF 求MN的长 1 理 若平面ABCD 平面DCEF 求异面直线MN与AF所成的角 2 用反证法证明 直线ME与BN是两条异面直线 思路点拨 课堂笔记 1 文 取CD的中点G 连结MG NG 因为ABCD DCEF为正方形 且边长为2 所以MG CD MG 2 NG 因为平面ABCD 平面DCEF 所以MG 平面DCEF 可得MG NG 所以MN 1 理 如图 取EF的中点G 连结MG 则GFCD 又MACD GFMA 四边形MAFG为平行四边形 MGAF GMN即为异面直线MN与AF所成的角 连结AN NG 设正方形棱长为a 则有MG a NG a MN a 在 MNG中 cos GMN GMN 30 此即为异面直线MN与AF所成的角 2 证明 假设直线ME与BN共面 则AB 平面MBEN 且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知 两正方形不共面 故AB 平面DCEF 又AB CD 所以AB 平面DCEF 而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线 所以AB EN 又AB CD EF 所以EN EF 这与EN EF E矛盾 故假设不成立 所以ME与BN不共面 它们是异面直线 文 空间两直线位置关系的判定 特别是两直线异面与共面的判定是高考对本节内容的考查热点 2009年湖南高考考查了共面直线的判定问题 是较典型的代表 理 通过将直线平移将异面直线所成的角 空间角 转化为平面角 进而通过解三角形求角来刻画空间两直线的位置关系 是高考的一个常考知识点 2009年上海高考以正四棱柱为载体 考查了异面直线所成的角 代表着此类问题考查的方向 考题印证 文 2009 湖南高考 平行平面体ABCD A1B1C1D1中 既与AB共面 也与CC1共面的棱的条数为 A 3B 4C 5D 6 解析 根据两条平行直线 两条相交直线确定一个平面 可得CD BC BB1 AA1 C1D1符合条件 答案 C 理 2009 上海高考改编 如图 若正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为2 高为4 则异面直线BD1与AD所成角的余弦值为 解析 由题意知 A1D1 AD A1D1B即为异面直线BD1与AD所成的角 连结A1B 则A1D1 A1B 由底面边长为2 高为4 得A1B 2 BD1 2 cos A1D1B 答案 自主体验 文 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是A1B1 B1C1的中点 问 1 AM和CN是否是异面直线 说明理由 2 D1B和CC1是否是异面直线 说明理由 解 1 不是异面直线 理由 连接MN A1C1 AC M N分别是A1B1 B1C1的中点 MN A1C1 又 A1AC1C A1ACC1为平行四边形 A1C1 AC 得到MN AC A M N C在同一平面内 故AM和CN不是异面直线 2 是异面直线 证明如下 ABCD A1B1C1D1是正方体 B C C1 D1不共面 假设D1B与CC1不是异面直线 则存在平面 使D1B 平面 CC1 平面 D1 B C C1 与ABCD A1B1C1D1是正方体矛盾 假设不成立 即D1B与CC1是异面直线 理 一个正方体纸盒展开后如图所示 在原正方体纸盒中有下列结论 AB EF AB与CM成60 角 EF与MN是异面直线 MN CD 其中正确的是 A B C D 解析 将展开图还原为正方体 由于EF ND 而ND AB EF AB 显然AB与CM平行 EF与MN是异面直线 MN与CD也是异面直线 故 正确 错误 答案 D 1 2010 大连模拟 若空间中有两条直线 则 这两条直线为异面直线 是 这两条直线没有公共点 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件 解析 若两条直线无公共点 则两条直线可能异面 也可能平行 若两条直线是异面直线 则两条直线必无公共点 答案 A 2 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点A B C D共面 点A B C E共面 则A B C D E共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 A 0B 1C 2D 3 解析 若有三点共线 则这四点共面 故 正确 若A B C三点共线 则A B C D E不一定共面 故 错误 若a b共面 a c共面 则b c共面或异面 故 错误 依次首尾相接的四条线段可能共面 也可能不共面 如空间四边形 故 错误 答案 B 3 2009 四川高考改编 如图 已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形 PA 平面ABC PA 2AB 则下列结论正确的是 A PB ADB 平面PAB 平面PBCC 直线BC 平面PAED PB与AD是异面直线 解析 PB在底面射影为AB AB与AD不垂直 PB与AD不垂直 排除A 又BD AB BD PA BD 面PAB 但BD不在面PBC内 排除B BD AE BD 面PAE BC与面PAE不平行 排除C PB 平面ABD于点B 面AD是平面ABD内不过B点的直线 PB与AD是异面直线 答案 D 4 文 如果两条异面直线称作 一对 那么在正方体的十二条棱中 共有异面直线对 解析 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中与AB异面的有C1C D1D B1C1 A1D1 因为各棱具有相同的位置 且正方体有12条棱 排除两棱的重复计算 所以异面直线共有 24对 答案 24 理 如图 在四面体ABCD中 E F分别是AC和BD的中点 若CD 2AB 4 EF AB 则EF与CD所成的角是 解析 取AD中点G 连结EG FG 则EGCD FGAB FEG即为EF与CD所成的角 由条件知EF FG 且FG 1 EG 2 sin FEG FEG 30 答案 30 5 正方体ABCD A1B1C1D1中 P Q R分别是AB AD B1C1的中点 则正方体的过P Q R的截面图形是 解析 分别取BB1 C1D1 D1D的中点E F G 则正方体的过P Q R的截面是PERFGQ 连结BD B1D1 则QPBD FRB1D1 又B1D1BD QPFR 同理 GFPE QGER PERFGQ是正六边形 答案 正六边形 6 文 如图 已知平面 且 l 设梯形ABCD中 AD BC 且AB CD 求证 AB CD l共点 相交于一点 证明 梯形ABCD中 AD BC AB CD是梯形ABCD的两条腰 AB CD必定相交于一点 如图 设AB