离散型随机变量的均值与方差、正态分布.ppt

离散型随机变量的均值与方差 正态分布 重点难点 重点 理解掌握随机变量的期望 方差的概念和正态分布的概念 难点 随机变量的期望与方差的意义 正态曲线的性质 基础梳理1 均值 1 若离散型随机变量X的分布列为 则称EX 为随机变量X的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的 2 若Y aX b 其中a b为常数 则Y也是随机变量 且E aX b x1p1 x2p2 xipi xnpn 平均水平 aEX b np p 2 方差 1 设离散型随机变量X的分布列为 X 2 D aX b 3 若X服从两点分布 则DX 4 若X B n p 则DX a2DX p 1 p np 1 p 思考探究1 随机变量的均值 方差与样本均值 方差的关系是怎样的 提示 随机变量的均值 方差是一个常数 样本均值 方差是一个随机变量 随观测次数的增加或样本容量的增加 样本的均值 方差趋于随机变量的均值与方差 3 正态曲线的特点 曲线位于x轴 与x轴 曲线是单峰的 它关于直线 对称 曲线在x 处达到峰值 曲线与x轴之间的面积为 上方 不相交 x 1 当 一定时 曲线随着 的变化而沿x轴平移 当 一定时 曲线的形状由 确定 曲线越 瘦高 表示总体的分布越 曲线越 矮胖 表示总体的分布越 越小 集中 越大 分散 课前热身 答案 B 答案 B 3 口袋中有5只球 编号分别为1 2 3 4 5 从中任意取3只球以X表示取出的球的最大号码 则X的期望EX的值是 A 4B 4 5C 4 75D 5答案 B 4 在篮球比赛中 罚球命中1次得1分 不中得0分 如果某运动员罚球命中的概率为0 7 那么他罚球1次的得分X的均值是 答案 0 7 5 有一批产品 其中有12件正品和4件次品 有放回地任取3次 每次1件 若X表示取到次品的次数 则D X 考点1离散型随机变量的均值与方差求离散型随机变量X的均值与方差的方法步骤 1 理解X的意义 写出X可能取的全部值 2 求X取每个值的概率 3 写出X的分布列 4 由均值的定义求EX 5 由方差的定义求DX 1 求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率 2 求p q的值 3 求数学期望E 规律方法 离散型随机变量的分布列 均值 方差是三个紧密相连的有机统一体 一般在试题中综合在一起进行考查 其解题的关键是求出分布列 然后直接套用公式即可 在解题过程中注意利用等可能性事件 互斥事件 相互独立事件或独立重复试验的概率公式计算概率 考点2均值与方差的实际应用离散型随机变量均值与方差的应用问题 一般应先分析题意 明确题目欲求的是均值还是方差 在此基础上将题中考查的数量指标用随机变量表示 把实际问题转化为随机变量的均值与方差 价格下降的概率都是p 0 p 1 设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整 记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X 对乙项目每投资十万元 X取0 1 2时 一年后相应利润是1 3万元 1 25万元 0 2万元 随机变量X1 X2分别表示对甲 乙两项目各投资十万元一年后所获的利润 1 求X1 X2的分布列和均值EX1 EX2 2 当EX1 EX2时 求p的取值范围 思路分析 1 求分布列 应先确定X2的取值 再求X2的取值对应的概率 2 由EX1 EX2 找出关于p的不等式 即可求出p的范围 解 1 X1的分布列为 故X2的概率分布列为 所以EX2 1 3 1 p 2 1 25 2p 1 p 0 2 p2 1 3 1 2p p2 2 5 p p2 0 2 p2 p2 0 1p 1 3 2 由EX11 18 整理得 p 0 4 p 0 3 0 解得 0 4 p 0 3 因为0 p 1 所以当EX1 EX2时 p的取值范围是0 p 0 3 失误探究 在求解X2的分布列时 往往因求不出X2的各个取值的概率而解不出本题 出现这种现象的原因是 没有搞清X取0 1 2的概率就是X2取1 3万元 1 25万元 0 2万元的概率 考点3正态分布关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 1 熟记P X P 2 X 2 P 3 X 3 的值 2 充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1 设X N 5 1 求P 6 X 7 思路分析 利用正态分布的对称性 P 6 X 7 P 3 X 4 解 由已知 5 1 P 4 X 6 0 6826 P 3 X 7 0 9544 P 3 X 4 P 6 X 7 0 9544 0 6826 0 2718 名师点评 在利用对称性转化区间时 要注意正态曲线的对称轴是x 而不是x 0 0 互动探究若其他条件不变 则P X 7 及P 5 X 6 应如何求解 解 由 1 5 P 3 X 7 P 5 2 1 X 5 2 1 0 9544 方法技巧1 释疑离散型随机变量的均值 1 均值是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均 2 EX是一个实数 由X的分布列唯一确定 它描述X取值的平均状态 3 教材中给出的E aX b aEX b 说明随机变量X的线性函数Y aX b的均值等于随机变量X均值的线性函数 2 离散型随机变量的方差 1 DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度 失误防范1 对于应用问题 必须对实际问题进行具体分析 一般要先将问题中的随机变量设出来 再进行分析 求出随机变量的概率分布列 然后按定义计算出随机变量的期望 方差或标准差 2 离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一 期望E 的值可正也可负 而方差的值则一定是一个非负值 它们都由 的分布列唯一确定 3 D a b a2D 在记忆和使用此结论时 请注意D a b aD b D a b aD 4 在实际问题中进行概率 百分比计算时 关键是把正态分布的两个重要参数 求出 然后确定三个区间 范围 2 2 3 3 与已知概率值进行联系求解 命题预测从近几年的广东高考试题来看 离散型随机变量的均值与方差是高考的热点 题型为填空题或解答题 属中档题 常与排列 组合 概率等知识综合命题 既考查基本概念 又注重考查基本运算能力和逻辑推理 理解能力 预测2013年广东高考 离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热点 同时应特别注意均值与方差的实际应用 规范解答 本题满分12分 2010 高考浙江卷 如图 一个小球从M处投入 通过管道自上而下落到A或B或C 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的 某商家按上述投球方式进行促销活动 若投入的小球落到A B C 则分别设为1