立体几何的向量方法.ppt

立体几何的向量方法 1 理解直线的方向向量与平面的法向量 2 能用向量语言表述直线与直线 直线与平面 平面与平面的垂直 平行关系 3 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 包括三垂线定理 4 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 2 在空间中 给定一个点A和一个向量a 那么以向量a为法向量且经过点A的平面是 理要点 一 平面的法向量1 所谓平面的法向量 就是指所在的直线与的向量 显然一个平面的法向量有多个 它们是向量 平面垂直 无数 共线 唯一的 二 利用向量求空间角1 两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a b的方向向量为a b 其夹角为 则cos cos 其中 为异面直线a b所成的角 2 直线和平面所成的角的求法如图所示 设直线l的方向向量为e 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 两向量e与n的夹角为 则有sin cos 3 求二面角的大小 1 如图 AB CD是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的直线 则二面角的大小 2 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的小大 n1 n2 或 n1 n2 究疑点 如何求一平面的法向量 提示 1 设出平面的法向量为n x y z 题组自测 1 已知向量a 2 3 1 b 2 0 4 c 4 6 2 则下列结论正确的是 A a c b cB a b a cC a c a bD 以上都不对 解析 c 4 6 2 2 2 3 1 a c 又a b 2 2 3 0 1 4 0 a b 答案 C 2 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 CD的中点 M为AE上一点 1 求证平面AED 平面A1FD1 2 当AM与AE有怎样的数量关系时 A1M 平面DAE 3 如图 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 且AB AA1 D E F分别为B1A C1C BC的中点 求证 1 DE 平面ABC 2 B1F 平面AEF 证明 如图以A为原点 AB AC AA1为x y z轴建立空间直角坐标系A xyz 令AB AA1 4 则A 0 0 0 E 0 4 2 F 2 2 0 B 4 0 0 B1 4 0 4 1 取AB中点为N 则N 2 0 0 C 0 4 0 D 2 0 2 归纳领悟 利用直线的方向向量和平面的法向量 可以判定直线与直线 直线与平面 平面与平面的平行和垂直 1 设直线l1的方向向量为v1 a1 b1 c1 直线l2的方向向量为v2 a2 b2 c2 则l1 l2 v1 v2 a1 b1 c1 k a2 b2 c2 k R l1 l2 v1 v2 a1a2 b1b2 c1c2 0 2 设直线l的方向向量为v a1 b1 c1 平面 的法向量为n a2 b2 c2 则l v n a1a2 b1b2 c1c2 0 l v n a1 b1 c1 k a2 b2 c2 k R 3 设平面 的法向量为n1 a1 b1 c1 平面 的法向量为n2 a2 b2 c2 则 n1 n2 a1 b1 c1 k a2 b2 c2 k R n1 n2 a1a2 b1b2 c1c2 0 题组自测 1 长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AA1 2 AD 1 E为CC1的中点 则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 2 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 已知BC 1 BB1 2 AB 平面BB1C1C 1 求直线C1B与底面ABC所成角的正切值 2 在棱CC1 不包括端点C C1 上确定一点E的位置 使EA EB1 要求说明理由 归纳领悟 1 求异面直线所成角时注意的问题利用向量的夹角来求异面直线的夹角时 注意区别 当异面直线的向量的夹角为锐角或直角时 就是该异面直线所成的角 当异面直线的向量的夹角为钝角时 其补角才是异面直线所成的角 2 利用向量法求线面角的方法一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 二是通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角 取其余角就是斜线和平面所成的角 题组自测 1 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角为 A 45 B 135 C 45 或135 D 90 答案 C 答案 B 在本题条件下试求平面BEF与平面BED夹角的大小 归纳领悟 1 利用空间向量求二面角可以有两种方法 一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 二是通过平面的法向量来求 设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2 则二面角的大小等于 n1 n2 或 n1 n2 2 利用空间向量求二面角时 注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 一 把脉考情从近两年高考试题来看 利用空间向量证明平行或垂直 求空间角是高考的热点内容 题型主要以解答题为主 难度中档偏上 此类问题主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力 运算能力要求较高 预测2012年仍会考查此热点问题 注意强化复习训练 二 考题诊断1 2010 湖南高考 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是棱DD1的中点 1 求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值 2 在棱C1D1上是否存在一点F 使B1F 平面A1BE 证明你的结论 2 2010 天津高考 如图 在长方体ABC