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第五章数值积分 本章内容 5 1引言 5 2牛顿 柯特斯公式 5 3复合牛顿 柯特斯公式 5 4龙贝格算法 5 5高斯型求积公式 5 1引言 一 为什么要数值求积 二 构造数值求积公式的基本方法三 求积公式的余项四 求积公式的代数精度 5 1引言 一 数值求积的必要性 5 1引言 5 1引言 5 1引言 5 1引言 截断误差 5 1引言 5 2牛顿 柯特斯公式 内容一 牛顿 柯特斯公式二 牛顿 柯特斯公式余项三 牛顿 柯特斯公式的数值稳定性和收敛性 5 2牛顿 柯特斯公式 Newton Cotes N C 公式 插值型数值求积公式 将积分区间 a b 分成n等分 等分点 等距节点求积 5 2牛顿 柯特斯公式 5 2牛顿 柯特斯公式 5 2牛顿 柯特斯公式 证 由插值型求积公式的余项其中可知梯形公式的误差为 由于 x a x b 在 a b 中不变号 在 a b 上连续 根据高等数学中的积分中值定理 在 a b 上存在一点 使 因此 5 2牛顿 柯特斯公式 二 牛顿 柯特斯 Newton Cotes 公式余项 5 2牛顿 柯特斯公式 5 2牛顿 柯特斯公式 5 2牛顿 柯特斯公式 5 2牛顿 柯特斯公式 5 3复合牛顿 柯特斯公式 内容一 复化数值求积法二 复化梯形公式三 复化Simpson公式四 复化Cotes公式五 误差估计六 复合求积公式步长的自动选取 5 3复合牛顿 柯特斯公式 一 复化数值求积法提高求积精度 增加节点 分段使用节点少的Newton Cotes公式即所谓的复化求积公式 整体使用节点多的N C公式 原因 高次插值有时出现Runge现象 误差更大 节点增多 Ak有正有负 不能保证稳定性 5 3复合牛顿 柯特斯公式 复化 复合 求积公式所谓复化求积 就是先将积分区间分成几个小区间 并在每个小区间上用低阶牛顿 柯特斯公式计算积分的近似值 然后对这些近似值求和 从而得到所求积分的近似值 由此得到的一些具有更大实用价值的数值求积公式 统称为复化求积公式 5 3复合牛顿 柯特斯公式 二 复化梯形公式 5 3复合牛顿 柯特斯公式 证明参见教材 5 3复合牛顿 柯特斯公式 三 复化Simpson公式 5 3复合牛顿 柯特斯公式 5 3复合牛顿 柯特斯公式 四 复化Cotes公式 5 3复合牛顿 柯特斯公式 例 5 3复合牛顿 柯特斯公式 5 3复合牛顿 柯特斯公式 五 误差估计 5 3复合牛顿 柯特斯公式 5 3复合牛顿 柯特斯公式 六 复合求积公式步长的自动选取 5 3复合牛顿 柯特斯公式 5 3复合牛顿 柯特斯公式 4 3复合牛顿 柯特斯公式 5 3复合牛顿 柯特斯公式 步长自动选取的步骤 有时也去掉精度会更高 以上这种方法称为自适应求积法 5 3复合牛顿 柯特斯公式 以复合Simpson求积公式的特点为例 旧节点 新节点 5 3复合牛顿 柯特斯公式 5 3复合牛顿 柯特斯公式 分析 已知对于 10 6须将区间对分9次 得到T512 3 14159202 3 141592502 S4 5 4龙贝格算法 内容一 引言二 Romberg序列三 Romberg算法 5 4龙贝格算法 一 引言综合前几节的内容 我们知道 1 梯形公式 Simpson公式 Cotes公式的代数精度分别为1次 3次和5次 2 复合梯形 复合Simpson 复合Cotes公式的收敛阶分别为2阶 4阶和6阶 无论从代数精度还是收敛速度 复合梯形公式都是较差的 有没有办法改善梯形公式呢 5 4龙贝格算法 二 Romberg序列 Romberg序列 5 4龙贝格算法 三 Romberg算法 Romberg算法的代数精度为m的两倍Romberg算法的收敛阶高达m 1的两倍 龙贝格法加速效果明显 计算量减少 当 R2 R1 停止 否则 再次二分区间 直到 R2k 1 R2k 2 为止 5 4龙贝格算法 例7 5 4龙贝格算法 5 4龙贝格算法 5 4龙贝格算法 5 把区间再分半 重复步骤 4 可算出结果 T16 3 14094 S8 3 14159 C4 3 14159 R2 3 14159至此得 R1 R2 0 00001 因为计算只用小数点后五位 故精确度只要求到0 00001 因此 5 5高斯型求积公式 内容一 问题提出二 Gauss求积公式三 Gauss求积公式的余项四 常用的Gauss求积公式五 Gauss型求积公式的优缺点 5 5高斯型求积公式 一 问题提出例 求节点x0 x1使插值型求积公式具有尽可能高的代数精度 解 首先有由于是插值型 其代数精度m 1 5 5高斯型求积公式 5 5高斯型求积公式 5 5高斯型求积公式 n 1个节点的插值求积公式的代数精确度不低于n求积公式 能不能在区间 a b 上适当选择n个节点x1 x2 xn 使插值求积公式的代数精度高于n 答案是肯定的 适当选择节点 可使公式的精度最高达到2n 1 这就是所要介绍的高斯求积公式 5 5高斯型求积公式 二 Gauss求积公式 定理 求积公式的代数精度最高不超2n 1次 5 5高斯型求积公式 上面共有r 1个等式 2n 2个待定系数 要想如上方程组有唯一解 方程组中方程的个数应等于待定系数的个数 即r 2n 1 这样求出的解使求积公式的代数精度至少是2n 1 下面证明代数精度只能是2n 1 如果事先已选定 a b 中求积节点xk如下 a x1 xn b 上式成为n个未知数A1 An的n元线性方程组 此时要r n时方程组有唯一解 5 5高斯型求积公式 事实上 取2n 2次多项式g x x x0 2 x x1 2 x x2 2 x xn 2代入求积公式 有左 右 左 右 故不成立等式 定理得证 5 5高斯型求积公式 定义 使求积公式达到最高代数精度2n 1的求积公式称为Guass求积公式 Guass求积公式的节点xk称为Guass点 系数Ak称为Guass系数 因为Guass求积公式也是插值型求积公式 故有结论 插值型求积公式的代数精度d满足 n d 2n 1 5 5高斯型求积公式 三 Gauss求积公式的余项 高斯求积公式的系数Ak恒为正 故高斯求积公式是稳定的 Guass求积公式有多种 他们的Guass点xk Guass系数Ak都有表可以查询 5 5高斯型求积公式 四 常用的Gauss求积公式1 Gauss Legendre求积公式其中高斯点为Legendre多项式的零点对于一般有限区间 a b 用线性变换x a b 2 b a t 2使它变成为 1 1 5 5高斯型求积公式 Gauss Legendre点及系数表 5 5高斯型求积公式 例 利用高斯求积公式计算解 令x 1 2 1 t 则用高斯 Legendre求积公式计算 取n 5积分精确值为I ln2 0 69314718 由此可见 高斯公式精确度是很高的 5 5高斯型求积公式 2 Gauss Chebyshev求积公式其中高斯点为Chebyshev多项式Tn x 的零点Tn x cos narccos x 5 5高斯型求积公式 3 Gauss Laguerre求积公式4 Gauss Hermite求积公式 5 5高斯型求积公式 例10 分别用不同方法计算如下积分 并做比较各种做法比较如下 1 Newton Cotes公式当n 1时 即用梯形公式 I 0 9207354当n 2时 即用Simpson公式 I 0 9461359当n 3时 I 0 9461090当n 4时 I 0 9460830当n 5时 I 0 9460831 5 5高斯型求积公式 2 用复化梯形公式令h 1 8 0 125 3 用复化抛物线令h 1 8 0 125 5 5高斯型求积公式 4 Romberg公式KTnSnCnRn00 920735510 93979330 946145920 94451350 94608690 940083030 94569060 94608330 94608310 9460831 5 5高斯型求积公式 5 Gauss公式令x t 1 2 用2个节点的Gauss公式用3个节点的Gauss公式 5 5高斯型求积公式 比较此例题的精确值为0 9460831 由例题的各种算法可知 对New