多元函数微分学习题课.ppt

第七章习题课 主要内容典型例题 平面点集和区域 多元函数的极限 多元函数连续的概念 极限运算 多元连续函数的性质 多元函数概念 主要内容 全微分的应用 高阶偏导数 隐函数求导法则 复合函数求导法则 全微分形式的不变性 微分法在几何上的应用 方向导数 多元函数的极值 全微分概念 偏导数概念 一 基本概念 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1 多元函数的定义 极限 连续 定义域及对应法则 求极限及判断极限不存在的方法 函数的连续性及其性质 2 几个基本概念的关系 问题 1求极限 判断函数极限存在性2 函数连续性 偏导数存在性 可微性的判别 例1 解 注意 在某些情况下可以利用极坐标求极限 但要注意在定义域内r 的变化应该是任意的 例2 讨论 在点 处的连续性 偏导数的存在性及可微性 解 由于当 时 故 所以 偏导数 可微性 因此 由于 故 二 多元函数微分法 显示结构 隐式结构 1 分析复合结构 画变量关系图 自变量个数 变量总个数 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2 正确使用求导法则 链式法则 注意正确使用求导符号 3 利用一阶微分形式不变性 问题 求偏导数 高阶偏导数 多元复合函数 隐含数求导方法 例3 解 P92例1 例9 P92 1 求 解 由题设 P92 2 解 于是可得 P934 设 求 解 利用行列式解出du dv P94 6 代入 即得 代入 即得 三 多元函数微分法的应用 1 在几何中的应用 求曲线的切线及法平面 关键 寻求切向量 求曲面的切平面及法线 关键 寻求法向量 2 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 消元法 拉格朗日乘数法 求解最值问题 3 在微分方程变形等中的应用 1 2 3 解 由于椭球面是一封闭曲面 因此椭球面上 此最值即为椭球面方程所 确定的隐函数的最大值与最小值 方程两边分别关于 令 解得 代入椭球面方程得 故得两点 由于椭球面确实存在z坐标的最大与最小的点 因此 设S是椭球面对于 面的投影柱面 相同 为 即 例14 设有一小山 取它的底面所在的平面为xoy坐标面 其底部所在的区域为 小山的高度函数为 解 沿梯度方向的方向导数最大 且最大值等于梯度的模 由于 故 2 现在此山开展攀岩活动 需在山脚寻找上山坡度最 大点作为起点 试确定攀登起点的位置 解 由题意知 要在底部区域D的边界线 上寻找使 达到最大的点 令 由题意 只需在约束条件 设 解得 由于 故 皆可作为攀登起点 例15 证 解得关系式 故命题得证 P92 10 解 问题为在约束条件 下 由于曲线为一条封闭曲线 因此 坐标的最大与最小值肯定存在 设 则有 整理得 由前三式得 或 代入后两式解得 或 因此 坐标的最大值为4 最小值为2 作业 P1022 5 6 7 11 15 测验题 测验题答案 补充 典型例题 例1 已知 求出的表达式 解法1令 即 解法2 以下与解法1相同 则 且 解法1 解法2令 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况 此法排除了沿曲线趋于原点的情况 此时极限为1 第二步 未考虑分母变化的所有情况 例2 讨论二重极限 时 下列算法是否正确 解法3令 此法忽略了 的任意性 极限不存在 由以上分析可见 三种解法都不对 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 特别要注意 在某些情况下可以利用极坐标求极限 但要注意在定义域内r 的变化应该是任意的 同时还可看到 本题极限实际上不存在 例4 解 2 已知 求 解 由 两边对x求导 得 6 设 其中f与F分别具 解方程两边对x求导 得 有一阶导数或偏导数 求 解法2 方程两边求微分 得