相似三角形与函数结合的问题课件.ppt

相似三角形与函数结合的问题 梅城初中胡长春 这是两个极具代表性的相似三角形的基本模型 A 型和 8 型 这两个模型在解题的过程中作用很大 你可要认真噢 A C B P F M N G E D S3 S1 S2 10 如图 DE BC FG AB MN AC 且DE FG MN交于点P 若记S DPM S1 S PEF S2 S GNP S3S ABC S 猜想S与S1 S2 S3之间的关系 并加以验证 拓展练习 归纳与猜想 如图 已知三角形ABC的面积为1 取各边中点为A1B1C1 得第一个三角形A1B1C1 又取各边中点 得第二个三角形A2B2C2 仿此继续下去 试求第100个三角形A100B100C100的面积 你能写出第n个三角形AnBnCn的面积吗 AnBnCn与 ABC的相似比是1 2n 面积比是1 4n 若把题目中的三角形改为正方形 那么结论又如何 你来答一答 6 例1 有一块等腰三角形ABC铁板的余料 其中AB AC 20 BC 24 若在 ABC上截出一个矩形零件DEFG 使点E F在BC边上 点D G分别在边AB AC上 设EF x S矩形DEFG y 1 试求y关于x的函数的关系式 你来算一算 20 20 24 x 20 24 解 1 过点A作AN BC交BC于点N 交DG于点M 设DE a 等腰 ABC AN BC AB AC 20 BC 24 DG x AN 16 AM 16 a 0 x 24 2 x 2 当x为何值时 矩形DEFG的面积最大 DG BC ADG ABC 你能行 3 连结EG 当EG AB时 矩形DEFG的面积等于多少 20 24 4 当EG AC时 矩形DEFG的面积等于多少 H 5 当 BAC 90 AB 4 AC 3 内接正方形DEFG时 求 BE EF FC的值 A B C D E F G 4 3 5 动态几何问题 动态几何问题概述 例题分析与讲解 练习与作业 动态几何问题概述 这类问题是近两年以来各省市中考题的一个亮点 它出现的位置一般是最后的压轴题 分值在12分以上 综合性很强 往往设多问 问题由易而难 难度梯进 是典型的数形结合问题 这类问题往往以几何图形的运动为背景 探索在运动过程中 图形的变化情况 如果在这个变化过程中 确定两个变量 还要研究这两个变量在不同情况下的函数变化关系 这类问题所用到的数学知识有 不同几何图形的性质 如三角形的全等相似 四边形中特殊四边形的性质等 数学思想有 函数思想 分类讨论思想等 例 例 如图1 菱形OABC的边长为4cm AOC 60 动点P从O出发 以每秒1cm的速度沿OAB路线运动 点P出发2秒后 动点Q从O出发 在OA上以每秒1cm的速度 在AB上以每秒2cm的速度沿OAB路线运动 过P Q两点分别作对角线AC的平行线 设点P运动的时间为x秒 这两条平行线在菱形上截出的图形 图1中阴影部分 的周长为ycm 请你回答下列问题 当x 3时 y的值是多少 就下列各种情况 求y与x之间的函数关系式 0 x 2 2 x 4 4 x 6 6 x 8 在直角坐标系中 用图象表示 中各种情况下y与x的关系 当x 3时 阴影部分的周长y PM QN PQ MN OP OQ 2 2 3 3 2 2 2 8 答 当x 3时 阴影部分的周长y 8 情况 当0 x 2时 阴影部分的周长y C正 OPM 3 OP 3x 答 当0 x 2时 阴影部分的周长y与x的函数关系式为 y 3x 情况 当2 x 4时 阴影部分的周长y PM QN PQ MN OP OQ 2 2 x x 2 2 2 2x 4 答 当2 x 4时 阴影部分的周长y与x的函数关系式为 y 2x 4 情况 当4 x 6时 阴影部分的周长y PM QN PAQ MCN BP OQ 2 2 8 x x 2 2 2 10 答 当4 x 6时 阴影部分的周长y 10 情况 当6 x 8时 阴影部分的周长y PM QN PQ MN BP BQ 2 BQ BP 8 x 16 2x 5x 40 答 当6 x 8时 阴影部分的周长y与x的函数关系式为 y 5x 40 16 2x 动画 0 x 2 0 x 2 4 x 6 6 x 8 在直角坐标系中 用图象表示 中各种情况下y与x的关系 y 3x 0 x 2 2x 4 2 x 4 10 4 x 6 5x 40 6 x 8 本题小结 由于在这个图形运动过程中 赋予了P点运动的一些属性 如速度 时间 路程 所以出现了两个变量 P点运动时间为自变量 某图形的周长为函数 这样 把图形运动与函数关系对应起来 在图形位置不同的情况下 分类讨论了不同的函数关系 本题用到的数学知识有 菱形性质 等边三角形性质 行程问题的数量关系等 本题用到的数学思想有 函数思想 分类讨论 数形结合思想 本题的关键是 找到图形运动的临界点 据此 考虑函数关系 该题是以菱形为背景 描述了一系列的图形运动 点动 线动 形动 例2 已知抛物线的顶点坐标为 4 1 与y轴交于点C 0 3 O为原点 1 求这条抛物线的解析式 2 设此抛物线与x轴的交点为A B A在B的左边 问在y轴上是否存在点P 使以O B P为顶点的三角形与 AOC相似 若存在 请求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 A 2 0 B 6 0 x y A B C O P P P 0 4 0 4 P 0 9 0 9 今年的中考题中就有一题是在直角坐标系中找点使之构成等腰三角形 已知如图 梯形ABCD中 AB CD P M N分别是AD AB CD上的点且PM BD PN AC 1 求证 2 若AC BD AC BD 12 设PM x PMN的面积为y 求y与x的函数关系式 3 在 2 中 当x取什么值时 PMN面积最大 并指出此时点P在线段AD上的位置 D P A B C M N O 我思 我进步 在 ABC中 已知AC AB 2 A 30 D是AB上的一个动点 D与A B不重合 过D B C作 O交AC于E 1 若AD x y 求y与x之间的函数关系式及x的取值范围 2 当y取最小值时 求四边形DBCE的面积 B D C A E 我思 我进步 如图 在矩形ABCD中 AB 6米 BC 8米 动点P以2米 秒的速度从点A出发 沿AC向点C移动 同时动点Q以1米 秒的速度从点C出发 沿CB向点B移动 设P Q两点移动t秒 0 t 5 后 四边形ABQP的面积为S平方米 1 求出面积S与时间t的关系式 B C D P A 6 拓展练习 Q 2 探究 在P Q两点移动的过程中 四边形ABQP与 CPQ的面积能否相等 若能 求出此时点P的位置 若不能 请说明理由 拓展练习 B C D P A Q 8 如图 有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰 PQR PQ RP PE 3cm QR 8cm 点B C Q R共线 当C与Q重合时 PQR以1cm s的速度沿着直线l按箭头的方向匀速运动 t秒后正方形ABCD与 PQR重合部分的面积为Scm2 A B C D l 1 当t 3秒时 求S的值 G 2 t 5秒呢 与三角形内接矩形有关问题时 一般来说要作对应边上的高线 相似三角形对应边上的高之比等于相似比 对于同一类型的问题 要有比较 有变化 举一反三 相似三角形与函数联系紧密 运用相似