动点轨迹ppt课件.ppt

点的轨迹方程的求法 数学高考专题复习 天马行空官方博客 圆锥曲线回顾 天马行空官方博客 例1 已知 ABC底边BC的长为2a a 0 又知tgBtgC t t 0 a t均为常数 求顶点A的轨迹 思路分析 首先建立适当的坐标系 设出动点A及定点B C的坐标 如何将tgB tgC坐标化是本题的关键 由图易知 B是直线AB的倾斜角 C是直线AC的倾斜角的补角 因而tgB tgC都可以用斜率来表示 这样可直接写出顶点A的方程 接下来的工作就是化简方程和判断轨迹是何种曲线 必要时可进行讨论 本题答案 轨迹方程为x2 a2 y2 ta2 1 x a 当01时 轨迹为椭圆 当t 1时 轨迹为圆 当t 0时 轨迹为双曲线 例2 已知直线L1 直线L2 垂足为M 点N L2 如图 以A B为端点的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等 若 AMN为锐角三角形 且 AM 17 AN 3 BN 6 建立适当的坐标系 求曲线段C的方程 思路分析 坐标系的建立是本题的突破口 由于L1 L2 故可选择它们为坐标轴 也可以以线段MN的垂直平分线为y轴 哪一种更好呢 由题设可知曲线段C为抛物线的一部分 L1为准线 N为焦点 很显然选择标准方程y2 2px p 0 下面的关键是求出p的值 而 AMN为锐角三角形及 BN 6又起什么作用呢 请大家认真思考 本题答案 y2 8x 1 x 4 y 0 例3 设AB是圆x2 y2 1的一条直径 以AB为直角边 B为直角顶点 逆时针方向作等腰直角三角形ABC 当AB转动时 求点C的轨迹 思路分析 本题中的动点C满足两个条件 BC BA BC BA 无论用哪一个都不能直接得出点C的方程 因此要另辟他径 仔细分析题意 点C的运动依赖于点B的运动 A也是这样 因而可以用点C的坐标来表示点B的坐标 又点B在已知曲线上运动 其坐标满足曲线方程 从而得出点C的轨迹方程 如何得出B和C的坐标的关系就成为解题的关键 联想到复数知识 可以利用点与复数的对应关系 复数与向量的对应关系 来得出两点的坐标的关系 本题答案 x2 y2 5 A B 例4 抛物线y2 4x的焦点为F 准线与x轴交于A P是抛物线上除去顶点外的动点 O为顶点 连接FP并延长至Q 使 FP PQ OQ与AP交于M 求点M的轨迹 思路分析1 本题中的动点M是由两条动直线相交而得 而它们的运动又都依赖于动点P 因此选择P的坐标为参数 写出两直线的方程 解方程组 得点M的轨迹的参数方程 再化为普通方程 从而得出M的轨迹 本题答案 y2 8 3 x 1 3 轨迹为以 1 3 0 顶点 开口向右的抛物线 除去顶点 思路分析2 既然M的运动依赖于P的运动 可否用例3的方法 用M的坐标表示P的坐标 而P又在已知曲线上运动 代入已知曲线得出M的方程 M和P是什么关系 回到图中仔细分析 连接AQ会怎么样 点M与 AFQ是什么关系 直接法 根据动点所满足的几何条件 直接写出其坐标所满足的代数方程 代入法 也称相关点法 所求动点M的运动依赖于一已知曲线上的一个动点M0的运动 将M0的坐标用M的坐标表示 代入已知曲线 所的方程即为所求 参数法 动点的运动依赖于某一参数 角度 斜率 坐标等 的变化 可建立相应的参数方程 再化为普通方程 求动点的轨迹方程的常用方法 1 当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时 可用直接法 例1 2 直接法的另一种形式称为定义法 即已知曲线的类型和位置 可设出曲线方程 利用待定系数法求解 例2 3 当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动时 可利用代入法 其关键是找出两动点的坐标的关系 这要充分利用题中的几何条件 例3 4 当所求动点的运动受一些几何量 距离 角度 斜率 坐标等 制约时 可考虑用参数法求解 例4 5 求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应 否则要 多退少补 多余的点要剔除 用x y的取值范围来制 不足的点要补充 6 注意求轨迹和求轨迹方程的区别 本节小结 1999 24t 14f 如图 给出定点A a 0 a 0 和直线L x 1 B是直线L上的动点 BOA的平分线交AB于C 求点C的轨迹方程 并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系 这是一九九九年的高考题 第24题 14分 解题的关键是如何充分利用OC平分 BOA 设出B 1 t C x y 的坐标 有以下思路 思路1 利用三角形的角平分线的性质 BC CA OB OA 而将C视为BA的内分点 BC CA BC CA OA OB 均可用距离表示 得出点C的轨迹的参数方程 消去参数即可 思路2 利用角平分线的性质 点C到直线OA OB的距离相等 又点C在直线AB上 分别写出OB和AB的直线方程 用B的坐标表示 消去参数即可 思路3 利用三角形中的边角关系