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范例2 6 小球在空气中竖直上抛运动的规律 一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直上抛 在运动过程中 小球所受空气阻力的大小与速率成正比 比例系数为k 1 求小球上抛过程的速度和高度与时间的关系 速度和高度有什么关系 小球上升的最大高度和到达最大高度的时间是多少 2 求小球落回原处的时间和速度 解析 1 小球竖直上升时受到重力和空气阻力 两者方向竖直向下 取竖直向上的方向为正 根据牛顿第二定律得方程 分离变量得 积分得 小球速度随时间的变化关系为 范例2 6 小球在空气中竖直上抛运动的规律 由于v dh dt 所以 小球高度随时间的变化关系为 积分得 小球速度随时间的变化关系为 根据高度与时间的关系和速度与时间的关系 可得高度与速度的关系 当小球上升到最高点时 其速度为零 小球到最高点所需要的时间为 小球上升的最大高度为 可见 小球上升到最高点的时间和高度由比例系数和初速度决定 范例2 6 小球在空气中竖直上抛运动的规律 当k 0时 利用公式ex 1 x 可得 这是不计空气阻力时竖直上抛运动的速度公式 即v v0 gt 讨论 再利用公式ex 1 x x2 2 可得 这是不计空气阻力时竖直上抛运动的高度公式 利用公式ln 1 x x 可得 这是不计空气阻力时小球竖直上升最大高度的时间 即 再利用公式ln 1 x x x2 2 可得 这是不计空气阻力时小球竖直上抛运动的最大高度 不论初速度为多少 小球的速度随时间逐渐减小 直到零为止 初速度越大 小球到达最高点所需要的时间越长 不论初速度为多少 小球的高度都随时间增加 开始的时候几乎直线增加 在最高点附近缓慢增加 直到最大高度为止 初速度越大 小球达到的最大高度越高 不论初速度为多少 小球的速度随高度都减小 在最高点速度为零 范例2 6 小球在空气中竖直上抛运动的规律 2 求小球落回原处的时间和速度 解析 2 当小球从最高点竖直下落时 速度方向向下 空气阻力的方向向下 取向下的方向为正 根据牛顿第二定律得方程 分离变量得 积分得 小球速度随时间的变化关系为 由于v dh dt 所以 积分得 这是小球下落的高度与时间的关系 当小球落回原处时 h H 可得 这是关于时间的超越方程 如果求得时间T 即可求得小球落回原处的速度 范例2 6 小球在空气中竖直上抛运动的规律 2 求小球落回原处的时间和速度 讨论 当k 0时 利用公式ex 1 x 得 这是不计空气阻力时小球自由下落的速度 利用公式ex 1 x x2 2 得 这正是自由落体下落的高度公式 再利用公式ln 1 x x x2 2 得 T v0 g 化简得 这是不计空气阻力时小球自由下落到原处的时间 上升的初速度越大 小球上升的高度就越大 当初速度比较大时 小球上升的高度随时间几乎呈直线增加 上升的初速度越大 小球达到最大高度所需要的时间越长 但是小于小球从最高点下落到原处的时间 小球在
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