概率论第四章4.4节中心极限定理.ppt

中心极限定理 任课教师 侯雅文2010年12月16日 为何韩国射击队这么强 考察射击命中点与靶心距离的偏差 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和 这些因素包括 瞄准误差 测量误差 子弹制造过程方面 如外形 重量等 的误差以及射击时武器的振动 气象因素 如风速 风向 能见度 温度等 的作用 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的 并且它们中每一个对总和产生的影响不大 问题 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的 研究其概率分布情况 要点回顾 1 正态分布的定义 2 正态分布的分布函数 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布的分布函数表示为 3 标准正态分布 4 分位点的概念 若满足则称为X的上分位点 数 5 正态分布的期望和方差 6 重要公式 7 正态分布的重要性质 两个或多个相互独立的正态分布的线性组合仍是正态分布 即设X1 X2 Xn相互独立 且i 1 2 n 则有 特别地 设X1 X2 Xn相互独立 且X1 X2 Xn服从同一分布 是X1 X2 Xn的算术平值 则有 在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布 研究发现这些指标通常是由大量相互独立的随机因素综合影响而成 即 近似 当时 在什么情况下 的极限分布是 的极限分布是 设是独立r v列 均值和方差都存在 令 则 部分和标准化r v 的极限分布是否为 一般地 答案是否定的 除非服从正态分布 否则结论就不真 例如 定义 则称服从中心极限定理 若的分布函数对任意满足 同分布的r v列 其数学期望和方差分别为 则服从中心极限定理 的分布函数对任意满足 定理 独立同分布的中心极限定理 设为独立 即标准化r v 对于均值为方差的独立同分布的r v列 有 近似 即或 近似 中心极限定理的实际含义 这些随机因素都是微小的 没有一个因素起到 在实际问题中 如果某数量指标满足 该指标是由大量相互独立的随机因素迭加而成 则这个数量指标近似地服从正态分布 突出的作用 服务时间 例1 在一零售商店中 其结帐柜台为各顾客服务的时间 以分计 是相互独立同分布的随机变量 均值为1 5 方差为 1 求对100位顾客的总服务时间不多于 小时的概率 2 要求总的服务时间不超过 小时的概率大于0 95 问至多能对几位顾客服务 解 1 以 i i 1 2 100 记对第i对顾客的服务时间 按题意要求概率为由于 1 X2 X100相互独立且服从相同的分布 由中心极限定理得 2 设能对 位顾客服务 以 i i 1 2 100 记对第i对顾客的服务时间 按题意需要确定最大的 使 由中心极限定理 当 充分大时 上式可写成 因 为正整数 故取 33 即最多只能为33个顾客服务 才能使总的服务时间不超过 小时的概率大于0 95 应用1 练习炮火轰击敌方防御工事100次 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布 其数学期望为2 均方差为1 5 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的 求100次轰击 1 至少命中180发炮弹的概率 2 命中的炮弹数不到200发的概率 解设Xk表示第k次轰击命中的炮弹数 相互独立 设X表示100次轰击命中的炮弹数 则 由独立同分布中心极限定理 有 1 2 例2售报员在报摊上卖报 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1 3 令X是出售了100份报时过路人的数目 求P 280 X 320 解令Xi为售出了第i 1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数 i 1 2 100 几何分布 应用2 相互独立 由独立同分布中心极限定理 有 例3检验员逐个检查某产品 每查一个需用10秒钟 但有的产品需重复检查一次 再用去10秒钟 若产品需重复检查的概率为0 5 求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率 解若在8小时内检查的产品多于1900个 即检查1900个产品所用的时间小于8小时 设X为检查1900个产品所用的时间 秒 设Xk为检查第k个产品所用的时间 单位 秒 k 1 2 1900 应用3 0 50 5 相互独立同分布 由独立同分布的中心极限定理 有 定理 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 设为服从 证 因二项分布产生于重伯努利试验 故可分解为 注记 对于一列二项分布r v 有 近似 近似 的图形为 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理的应用 例如 于是当充分大时 可以认为 近似 O 记 则 近似 高尔顿钉板试验 共15层小钉 高尔顿 FrancisGalton 1822 1911 英国人类学家和气象学家 将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验 一船舶在某海区航行 已知每遭受一次海浪的冲击 纵摇角大于3 的概率为1 3 若船舶遭受了90000次波浪冲击 问其中有29500 30500次纵摇角大于3 的概率是多少 解 并假设各次试验是独立的 在90000次波浪冲击中纵摇角大于3 的次数为X 则X是一个随机变量 例4 分布律为 所求概率为 直接计算很麻烦 利用德莫佛 拉普拉斯定理 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加 每人每年交200元 若老人在该年内死亡 公司付给家属1万元 设老年人死亡率为0 017 试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率 解 设X为一年中投保老人的死亡数 由德莫佛 拉普拉斯定理知 练习 保险公司亏本的概率 保险公司亏本的概率 例5某车间有200台车床 每台独立工作 开工率为0 6 开工时每台耗电量为r千瓦 问供电所至少要供给这个车间多少电力 才能以99 9 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产 解设至少要供给这个车间a千瓦的电力 X为开工的车床数 则X B 200 0 6 X N 120 48 近似 应用4 由德莫佛 拉普拉斯中心极限定理 有 问题转化为求a 使 反查标准正态函数分布表 得 令 对于一个学生而言 来参加家长会的家长人数是一个随机变量 设一个学生无家长 1名家长 2名家长来参加会议的概率分别为0 05 0 8 0 15 若学校共有400名学生 设各学生参加会议的家长数相互独立 且服从同一分布 1 求参加会议的家长数X超过450的概率 2 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率 解 练习 根据独立同分布的中心极限定理 由德莫佛 拉普拉斯定理知 比较几个近似计算的结果 中心极限定理 二项分布 精确结果0 9590 Poisson分布 Chebyshev不等式 比较 设是独立r v列 它们具有数学期望和方差 若存在使得当时 有 近似 则服从中心极限定理 即 定理 李雅普诺夫 Liapunov