概率论课件第十六次课.ppt

设随机变量X和Y的数学期望都是2 方差分 别为1和4 而相关系数为0 005 则根据切比雪夫 不等式求 解 1 契比雪夫不等式可以用来干什么 一 复习 则 2 大数定律的含义是什么 独立同分布大数定律说明 经过算术平均后得 到的随机变量的取值比较紧密地聚集在它的期望 值附近 贝努利大数定律说明 当n充分大时 事件A发 生的频率与其概率的绝对偏差小于任意给定的正数 3 中心极限定理可以用来干什么 某计算机系统有120个终端 每个终端在1小 时内平均有3分钟使用打印机 假定各终端使用 打印机与否是相互独立的 求至少有10个终端 同时使用打印机的概率 解 设X 计算机使用打印机的终端数 则 数理统计学是数学的一个分支学科 研究怎样有效地收集 整理和分析带有随 或预测 直至为采取一定的决策和行动提 供依据与建议 数理统计学就是这样一门学科 它使用 概率论和数学的方法 研究怎样收集 通过试 验或观察 带有随机误差的数据 并在设定的 析 称为统计分析 以对所研究的问题作出推 断 称为统计推断 本书前五章的研究属于概率论的范畴 在那里 随机变量及其概率分布全面描述了 随机现象的统计规律 在概率论的许多问题中 概率分布通常被假定为已知的 而一切计算推理 均基于这个这个已知的分布进行 但在实际问题 情形往往并非如此 例1 某公司要采购一批产品 每件产品 要么是正品 要么是次品 若设这批产品的次 随机抽取一件 用X服从0 1分布B 1 p 但 品率为p 一般是未知的 则从该批产品中 分布中参数p是不知道的 显然 p的大小决定 了该批产品的质量 它直接影响采购行为的经济 效益 故人们对p提出一些问题 p的大小如何 p大概落在什么范围 能否认为p满足设定要求 如 第六章样本及其分布 第一节随机样本和统计量 1 总体 一 总体 个体 研究的对象的某个 或某些 数量指标的 X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数 全体 称为总体 母体 和数字特征 它是一个随机变量 或多维随机变量 记为X 的某个取值 用表示 即总体的每个数量指标 可看作随机变量X 2 个体 组成总体的每一个元素称为个体 例2 考察某批灯泡的质量时 该批灯泡的全体 就是总体 其中每一个灯泡就是个体 例3 考察某城市的人口时 该城市人口的全体 就是总体 其中每一个市民就是个体 从总体中抽取的部分个体称为样本 容量为n的样本可以看作n维随机变量 样本中所包含的个体数目称为样本容量 例如 考察某批灯泡的质量时 从该批灯泡中抽取 16只灯泡 检验它们的寿命 一个样本 用表示 则16只灯泡就是 且样本容量为16 3 样本 样本是随机变量 例如上面抽到哪16只是随机的 但是 一旦取定一组样本 得到的是n个具体的数 x1 x2 xn 称为样本的一次观察值 简称样本值 由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断 为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息 必 须考虑抽样方法 X1 X2 Xn是相互独立的随机变量 最常用的一种抽样方法叫作 简单随机抽样 X1 X2 Xn中每一个与所考察的总体 1 代表性 2 独立性 它要求抽取的样本满足下面两点 有相同的分布 由简单随机抽样得到的样本 若总体的分布函数为F x 则简单随机样本的 4 简单随机样本 称为简单随机样本 它可以用与总体独立同分布的 n个相互独立的随机变量X1 X2 Xn表示 联合分布函数为 若总体X的概率密度为 则X1 X2 Xn 的联合密度为 二 频率直方图 设总体X是一个连续型随机变量 下面介绍 体X的概率密度的图解法 频率直方图 一种根据样本观察值来近似求出总 设和分别是 的最大值和最 小值 选取略小于 的数a和略大于 的数b 并在区间 a b 中插入若干个分点 于是把区间 a b 分成r 1 个小区间 且 计算样本观察值落入第 个数 即频数 而 称为样本观察值落入 的频率 频率直方图 为底 以 为高的矩形 如图 的图称为频率直方图 三 经验分布函数 设 是总体X的样本观察值 将它按 大小次序排列如下 例4 从总体X中获得一组样本观察值如下 1 0 5 0 1 1 5 2 求经验分布函数 四 统计量 1 统计量 不含任何未知参数的样本的函数称 为统计量 它是完全由样本决定的量 例4 设总体服从正态分布 其中 未知 X1 X2 Xn为总体X的一个样本 则 2 几个常见统计量 1 样本均值 2 样本方差 3 样本k阶原点矩 4 样本k阶中心矩 k 1 2 第六章样本及其分布 第二节几个常用的分布 一 标准正态分布的上分位点 例1 求 正态分布N 0 1 则称随机变量 所服从的分布为自由度为n的分布 分布的密度函数为 设相互独立 都服从正态分布 结论1 结论2 结论3 结论4 则 n 2 n 3 n 5 n 10 n 15 例2 求 t分布密度函数为 记为 T t n 2 t分布 设X N 0 1 Y 且X与Y 相互独立 则称变量 所服从的分布为 自由度为n的t分布 t分布的密度函数关于x 0对称 且 当n充分大时 结论1 结论2 其图形近似于标准正态分布密度函数的图形 t分布的图形 红色的是标准正态分布 n 1 n 20 图形的对称性有 例3 求 例4 设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分 布N 0 32 而X1 X2 X9和 Y1 Y2 Yn分别 是来自总体X和Y的简单随机样本 问统计量 服从什么分布 参数是多少 解 且X1 X2