概率论与数理统计连续型随机变量二.ppt

随机变量 随机变量的概念例电话总机某段时间内接到的电话次数 可用一个变量X来描述 X 0 1 2 例检测一件产品可能出现的两个结果 也可以用一个变量来描述 例考虑 测试灯泡寿命 这一试验 以X记灯泡的寿命 以小时计 则 X t t 0 定义设S是随机试验E的样本空间 若 则称S上的单值实值函数X 为随机变量 随机变量一般用大写英文字母X Y Z 或小写希腊字母 表示 随机变量是 上的映射 此映射具有如下特点 定义域S 随机性随机变量X的可能取值不止一个 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知取哪个值 概率特性X以一定的概率取某个值或某些值 引入随机变量的意义有了随机变量 随机试验中的各种事件 就可以通过随机变量的关系式表达出来 如 单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示 它是一个随机变量 收到不少于1次呼叫 没有收到叫 可见 随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内 也可以说 随机事件是从静态的观点来研究随机现象 而随机变量则是一种动态的观点 就象数学分析中常量与变量的区别那样 称X为具有密度函数f x 的连续型随机变量 如果对任意的a b 都有 对于连续随机变量X 有 称函数为随机变量X的分布函数 记X 对连续型随机变量X 有 连续型随机变量 Review 分布律的基本性质 非负性 规范性 分布律的两个要素 X的可能取值X取每个值的概率 几种常见的离散型分布 0 1分布 二点分布 则称X服从参数为p的二点分布或 0 1 分布 背景 样本空间只有两个样本点的情况都可以用两点分布来描述 如 上抛一枚硬币 定义 若随机变量X的分布律为 例 设一个袋中装有3个红球和7个白球 现在从中随机抽取一球 如果每个球抽取的机会相等 并且用数 1 代表取得红球 0 代表取得白球 则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量 其概率分布为 即X服从两点分布 其中0 p 1 则称X服从参数为n p的二项分布 也称Bernoulli分布 记为 X B n p 二项分布 Binomialdistribution 在n重贝努利试验中 若以X表示事件A发生的次数 则X可能的取值为0 1 2 3 n 随机变量X的分布律 从一批由9件正品 3件次品组成的产品中 有放回地抽取5次 每次抽一件 求恰好抽到两次次品的概率 有放回地抽取5件 可视为5重Bernoulli实验 记X为共抽到的次品数 则 A 一次实验中抽到次品 P A 3 12 n 5p 1 4 例 解 泊松分布Poissondistribution 若随机变量X的分布律为 其中 0 则称X服从参数为 的泊松分布 X P 定义 服务台在某时间段内接待的服务次数X 交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y 矿井在某段时间发生事故的次数 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目 单位体积空气中含有某种微粒的数目 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布 都可以看作泊松分布 其参数 可以由观测值的平均值求出 实际问题中若干R v X是服从或近似服从Poisson分布的 例 解 离散型随机变量的分布律与分布函数 题型1 已知离散型分布律 求分布函数 例1设随机变量X的分布律为 求X的分布函数 阶梯函数 例2设随机变量X的分布函数为 求X的概率分布 离散型随机变量的分布律与分布函数 题型2 已知离散型分布函数 求分布律 例3设连续型随机变量X的密度函数为 求X的分布函数 连续型随机变量密度函数与分布函数 题型3 已知连续型密度函数 求分布函数 解当x 0时 连续型随机变量密度函数与分布函数 当0 x 1时 当1 x 2时 连续型随机变量密度函数与分布函数 当x 2时 所以X的分布函数为 连续型随机变量密度函数与分布函数 例4设连续型随机变量X的分布函数为 求X的密度函数 连续型随机变量密度函数与分布函数 题型4 已知连续型分布函数 求密度函数 常用连续型分布 1 均匀分布 若连续型随机变量X的密度函数为 则X U a b 可描述 四舍五入 原则下的误差 每隔一定时间发车一部的车站上乘客的候车时间等等 例5已知X U a b 求X的分布函数 均匀分布 解当x a时 当a x b时 当x b时 1 均匀分布 X U a b 均匀分布 例6已知X U a b 求 均匀分布 解X U a b 于是其分布函数为 P c X c L F c L F c L b a 若X服从 a b 上的均匀分布 则X取值落在子区间的概率与子区间的长度成正比 例7某人午觉醒来 发觉表停了 他打开收音机想听报时 可认为求等待时间X服从均匀分布 求等待短于10分钟的概率 解以分钟为单位 记上一次报时时刻为0 则下一次报时时刻为60 则X U 0 60 于是其分布函数为 均匀分布 P X 10 F 10 10 0 60 0 1 6 例8某汽车从7 00am起 每15分钟来一班车 如果乘客到达此站的时间X是7 00到7 30之间的均匀变量 求等待时间短于5分钟的概率 解以分钟为单位 以7 00为起点0 则X U 0 30 其分布函数为 均匀分布 P 10 X 15 F 15 F 10 15 30 10 30 1 6 P 25 X 30 F 30 F 25 30 30 25 30 1 6 P 10 X 15 P 25 X 30 1 3 常用连续型分布 2 指数分布 若连续型随机变量X的密度函数为 可描述电子元件 动物的寿命 排队的服务时间 则 例9已知求X的分布函数 指数分布 解当x 0时 当x 0时 2 指数分布 指数分布 常用连续型分布 3 正态分布 NormalDistribution 若连续型随机变量X的密度函数为 可描述测量误差 信号噪声 考试成绩 产品的质量指标 生物的生理指标等等 后面的中心极限定理告诉我们 大量独立同分布的随机变量的和近似正态分布 则 3 正态分布 正态分布 正态分布的图象是一条钟形曲线 中间高 两边低 是轴对称图形 4 标准正态分布 标准正态分布 标准化 正态分布的标准化 例13从南郊某地乘车到北区飞机场有两条路可走 第一条路较短 但交通拥挤 所需时间X N 50 100 第二条路线略长 但意外阻塞较少 所需时间Y N 60 16 若离登机时间只有70分钟 问应走哪一条路赶飞机 解走第一条路线能及时赶到的概率为 而走第二条路线能及时