概率论与数理统计(第三章第1节).pptVIP

1 第三章多维随机变量 在实际工作中 常常需要同时用两个或更多的随机变量来描述所处理的问题 例如 为描述一个人的身材特征 最起码要用身高H和体重W来描述 假设 电子科大全体男生 任选1名男生 相应的身高和体重是H 与W 即一个样本点 对应着两个变量 H W 是定义在 上的二维随机变量 2 第一节二维随机变量及其分布 在引入多维随机变量的定义之后 我们主要讨论二维随机变量 相对于一维随机变量 它们没有本质区别 定义1 对样本空间 的每一个样本点 有n个实数X1 X2 Xn 与之对应 称由它们构成的有序数组 X1 X2 Xn 为n维随机变量 3 下面着重讨论二维随机变量 设 X Y 是定义在样本空间 上的二维随机变量 分别单独看X和Y 它们都是 上的一维随机变量 将它们的分布函数分别记为 FX x P X x 和FY y P Y y FX x 和FY y 是两个一元函数 二维随机变量 X Y 的分布函数则是一个二元函数 4 1 二维随机变量的联合分布函数 定义2 设 X Y 是二维随机变量 x y 是任意的实数对 记 X x Y y 为 X x 与 Y y 的积事件 则称二元函数F x y P X x Y y 是 X Y 的联合分布函数 一维随机变量X Y的分布函数FX x 与FY y 称为 X Y 的边缘分布函数 5 联合分布函数与边缘分布函数的关系 由于 可以得到 X x X x Y Y y X Y y 6 将 X Y 看成二维平面上的一个随机点 则有 随机点 X Y 落入该区域的概率就是联合分布函数 7 联合分布函数的基本性质 1 F x y 分别单独对x或y为单调不减 2 F x y 分别关于x或y为右连续 8 3 0 F x y 1 并且有 F 1 F x 0 F y 0 F 0 9 4 对任意的实数x1 x2 y1 y2 有F x2 y2 F x1 y2 F x2 y1 F x1 y1 0 实际上 上式 是随机点 X Y 落入下面 区域内的概率 x1x2 y2y1 10 如果有二元函数F x y 满足上述四个性质 则它是某个二维随机变量的联合分布函数 从联合分布函数F x y 的性质 有 由联合分布函数F x y 可以确定边缘分布函数FX x 和FY y 但是 仅仅由边缘分布不能确定联合分布 11 对于n维随机变量的联合分布函数 也有类似的定义和性质 教材P 88 二维随机变量也有离散型和连续型两种常见的类型 12 2 二维离散型随机变量及联合分布律 定义3 如果二维随机变量 X Y 的所有可能取值为有限对或可列无穷对 则称 X Y 为二维离散型随机变量 记 X Y 的可能取值为 xi yj 并且 P X xi Y yj pij i j 1 2 称上式为 X Y 的联合分布律 13 二维离散型随机变量的基本性质 1 pij 0 i j 1 2 2 3 联合分布函数F x y 14 联合分布律与边缘分布律的关系 联合分布律可以确定边缘分布律 有如下公式 15 用表格表示联合分布律和边缘分布律 16 仅仅只有边缘分布不能确定联合分布 教材P 88 89 例3 1 3和例3 1 4给出了反例 从两个不同的联合分布 得到了完全相同的边缘分布 原因是 多维随机变量的联合分布不仅仅与各分量的分布有关 还与各分量之间的关系有关 17 3 二维连续型随机变量及联合概率密度 定义4 设F x y 是二维随机变量 X Y 的分布函数 如果存在非负函数 f x y 使得对任意的实数对 x y 都有F x y 则称 X Y 是二维连续型随机变量 函数f x y 称为 X Y 的联合概率密度 18 联合概率密度的基本性质 1 f x y 0 2 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 这两条可作为判断一个二元函数是否是联合概率密度的标准 还可以利用它们确定概率密度中的待定常数 还可以利用它们确定概率密度中的待定常数 还可以利用它们确定概率密度中的待定常数 还可以利用它们确定概率密度中的待定常数 还可以利用它们确定概率密度中的待定常数 还可以利用它们确定概率密度中的待定常数 还可以利用它们确定概率密度中的待定常数 还可以利用它们确定概率密度中的待定常数 还可以利用它们确定概率密度中的待定常数 还可以利用它们确定概率密度中的待定常数 还可以利用它们确定概率密度中的待定常数 19 3 对二维平面上的区域G 有 注 性质 3 常用于计算一些事件的概率 P X Y G 例如 P X Y P a1 X a2 b1 Y b2 20 4 在f x y 的连续点处 有 不难发现 二维联合概率密度的上述基本性质 在形式上与一维概率密度函数是相似的 21 联合概率密度与边缘概率密度的关系 多维连续型随机变量的边缘分布仍然是连续型随机变量 相应的概率密度称为边缘概率密度 有如下重要计算公式 22 4 二维均匀分布与几何概型 设G是二维平面的一个有界区域 其面积为s 二维随机变量 X Y 取值于区域G内 并且取区域内每一点是等可能的 则 X Y 的联合概率密度应为 由于 23 C 因此 如果二维随机变量 X Y 的联合概率密度函数为 称 X Y 在区域G上均匀分布 24 设 X Y 在区域G上均匀分布 D是其中一个任意的子区域 则 X Y 落入子区域D的概率为 该概率值与区域D的形状 位置等均无关 只与D的面积有关 该概率值与区域D的形状 位置等均无关 只与D的面积有关 该概率值与区域D的形状 位置等均无关 只与D的面积有关 该概率值与区域D的形状 位置等均无关 只与D的面积有关 25 回忆在第二章的 一维均匀分布 中 随机点落入子区间的概率只与子区间的长度有关 像这种借助于几何度量指标 长度 面积 体积等 计算概率 可建立所谓的 几何概型 26 在几何概型中 任意事件A的概率为 几何概型的基本特点是 基本事件等可能 总个数无限 基本事件的总和 及其任意部分 事件A 都可以用同一个几何指标 及 A 描述 27 例1 有两个人相约中午1 2点在某地会面 他们约定先到者等候15分钟 并且最多等到2点钟 求此二人能见面的概率 分析 此二人到达时刻在1 2点之间 并且可以认为在这个范围内的任一时刻是等可能的 因此 可应用几何概型求解此问题 28 解 设两人的到达时刻分别是x和y 样本空间是如图所示正方形上的所有点 o x y 1 1 2 2 二人能见面 包含的是正方形内满足 x y 1 4的所有点 如图所示 x y 1 4 y x 1 4 29 于是 二人能见面的概率p为上图所示的两个区域面积之比 注 本题也可以利用服从均匀分布的随机变量来求解 设两人的到达时刻分别是X和Y 则 X Y 均匀分布于上图中的正方形 所求概率为P X Y 1 4 30 例1求解的问题就是概率论中有名的 约会等待 问题 这个模型有很广泛的实际背景 如 相邻的两个信号互相干扰的概率 只有一个 服务台 的服务系统 因正在为前一个 顾客 服务而不能接待下一位 顾客 的概率 这里的 顾客 和 服务台 都可以是很广义的概念 如轮船和停靠码头 入侵敌机和防御炮火 等等 31 5 二维正态分布 如果二维随机变量 X Y 具有如下的联合概率密度 这