概率论与数理统计第10讲.ppt

概率论与数理统计第十讲 主讲教师 杨勇 佛山科学技术学院数学系 问题的提出 在实际中 人们有时对随机变量的函数更感兴趣 如 已知圆轴截面直径D的分布 4 1一维随机变量的函数及其分布 求截面面积的分布 第四章随机变量的函数及其分布 又如 已知t t0时刻噪声电压I的分布 求功率W I2R R为电阻 的分布等 一般地 设随机变量X的分布已知 求Y g X 设g是连续函数 的分布 设X是一维随机变量 g x 为一元函数 那么Y g X 也是随机变量 称为随机变量X的函数 4 1 1离散型随机变量函数的分布 解 当X取值 1 0 1 2时 Y取对应值4 1 0和1 由P Y 0 P X 1 0 1 P Y 1 P X 0 P X 2 0 3 0 4 0 7 P Y 4 P X 1 0 2 例1 设随机变量X有如下概率分布 求Y X 1 2的概率分布 得Y的概率分布 把yi所对应的所有xk 即yi g xk 的pk相加 记成qi 则q1 q2 qi 就是Y g X 的概率分布 一般地 若X是离散型随机变量 概率分布为 如果g x1 g x2 g xk 中有一些是相同的 把它们作适当并项即可得到一串互不相同 不妨认为从小到大 的y1 y2 yi 4 1 2连续型随机变量函数的分布 解 设X的分布函数为Fx x Y的分布函数为FY y 则 例2 设随机变量X有概率密度 求Y 2X 8的概率密度 于是Y的密度函数 注意到 得 求导可得 当y 0时 例3 设X具有概率密度fX x 求Y X2的密度 解 设Y和X的分布函数分别为FY y 和FX x 注意到Y X2 0 故当y 0时 FY y 0 若 则Y X2的概率密度为 从上述两例中可以看到 在求P Y y 的过程中 关键的一步是设法从 g X y 中解出X 从而得到与 g X y 等价的X的不等式 例如 用 X y 8 2 代替 2X 8 y 用代替 X2 y 这样做是为了利用已知的X的分布 求出相应的Y的分布函数FY y 这是求随机变量函数Y g X 的分布函数的一种常用方法 下面给出一个定理 当定理的条件满足时 可直接求连续性随机变量函数的概率密度 定理的证明与前面的解题思路类似 其中x h y 是y g x 的反函数 定理1 设X是一个取值于区间 a b 具有概率密度fX x 的连续型随机变量 又设y g x 是在 a b 上处处可导的严格单调函数 记 为g x 的值域 则随机变量Y g X 是连续型随机变量 概率密度为 例4 设随机变量X在 0 1 上服从均匀分布 求Y 2lnX的概率密度 解 在区间 0 1 上 于是y 2lnx在区间 0 1 上严格单调下降 有反函数 由前述定理 得 注意取绝对值 已知X在 0 1 上服从均匀分布 代入的表达式中 得 即Y服从参数为1 2的指数分布 4 2 1离散型分布情形 4 2二维随机变量的函数的分布 一般地 已知二维随机变量 X Y 的分布 求Z g X Y 设g是连续函数 的分布 设 X Y 是二维随机变量 g x y 为二元函数 那么Z g X Y 是一维随机变量 称为二维随机变量 X Y 的函数 例1 若X与Y独立 且P X k ak k 1 2 P Y k bk k 1 2 求Z X Y的概率分布 解 Z可能的取值是2 3 4 于是 证明 依题意 有 则 得 即Z服从参数为的泊松分布 设X和Y的联合密度为f x y 求Z X Y的概率密度 因Z X Y的分布函数是 FZ z P Z z P X Y z 这里积分区域D x y x y z 是直线x y z左下方的半平面 4 2 2连续型分布的情形 化成累次积分 得 固定z和y 对方括号内的积分作变量代换 令x u y 得 变量代换 交换积分次序 由概率密度与分布函数的关系 即得Z X Y的概率密度 由X和Y的对称性 知fZ z 又可写成 以上两式就是两个随机变量和的概率密度的一般公式 特别地 当X和Y独立 设 X Y 关于X Y的边缘密度分别为fX x 和fY y 上述两式化成 这两个公式称为卷积公式 下面考虑用卷积公式求Z X Y的概率密度的方法 为确定积分限 先找出被积函数不为零的区域 解 由卷积公式 得 即 如图示 即 于是 例4 设X和Y相互独立 均服从标准正态分布 求Z X Y的概率密度 解 由卷积公式 对 z 有 因为 于是 进一步可以证明 若X和Y相互独立 且 这表明 Z N 0 2 例5 设某种商品在一周内的需要量是一个随机变量 概率密度函数为 如果各周的需要量相互独立 求两周需要量的概率密度函数 解 分别用X和Y表示该种商品在第一 第二周内的需要量 则其概率密度函数分别为 两周需要量Z X Y 概率密度函数为 被积函数不为零 当z 0时 因此 当z 0时 所以 Z的概率密度为 4 2 3M max X Y 及N min X Y 的分布 设X Y是两个相互独立的随机变量 分布函数分别为FX x 和FY y 求M max X Y 及N min X Y 的分布函数 再由X和Y相互独立 得到M max X Y 的分布函数为 即FM z FX z FY z FM z P M z P X z Y z P X z P Y z 分析 由于 M max X Y z 等价于 X z Y z 故有 P M z P X z Y z 类似地 可得N min X Y 的分布函数 下面进行推广到n个相互独立的随机变量的情况 即有FN z 1 1 FX z 1 FY z FX z FY z FX z FY z 1 P X z Y z FN z P N z 1 P N z 1 P X z P Y z 设X1 Xn是n个相互独立的随机变量 分布函数分别为 用与二维时完全类似的方法 可得 N min X1 Xn 的分布函数为 M max X1 Xn 的分布函数为 特别地 当X1 Xn相互独立 且具有相同分布函数F x 时 有 FM z F z n FN z 1 1 F z n 需要指出的是 当X1 Xn相互独立 且具有相同分布函数F x 时 常称 M max X1 Xn N min X1 Xn 为极值分布 桥梁或铸件所承受的最大应力 洪峰的高度 地震的震级等都用极值分布来描述 故 研究极值分布有重要意义 例6 如图所示 系统L由两个相互独立的子系统L1 L2联接而成 联接方式分别为 1 串联 2 并联 3 备用 开关完全可靠 子系统L2在储备期内不失效 当L1 损坏时 L2开始工作 解 先求X Y的分布函数 设L1 L2的寿命分别为X和Y 概率密度分别为 其中 0 0 且 为常数 分别对以上三种联接方式写出系统寿命Z的概率密度 1 串联时 Z min X Y FZ z 1 1 FX z 1 FY z 2 并联时 Z max X Y FZ z FX z FY z 当z 0时 有 3 备用时 Z X Y 当z 0时 fZ z 0 习题 对某种电子装置的输出测量了5次 得到观察值X1 X2 X3 X4 X5 设它们是相互独立的随机变量 且有相同的概率密度函数 求Z max X1 X2