概率论与数理统计2.3a.ppt

2 3常用的离散型分布 一 二点分布二 n个点上的均匀分布三 二项分布四 几何分布五 超几何分布六 泊松 Poisson 分布 一 二点分布 称只取二个值的随机变量X的概率分布 为服从x1 x2处参数为p的两点分布 称0 1处服从参数为p的两点分布为Bernoulli分布 0 1分布 用X表示在这次Bernoulli试验中事件A发生 试验成功 的次数 或者说 令 设 Bernoulli分布的概率背景 二 n个点上的均匀分布 如果随机变量X只取n个不同的值 且其概率分布为 均匀分布 三 二项分布 如果随机变量X的概率函数为 说明 显然 当n 1时 二项分布的验证 由于 以及n为自然数 可知 又由二项式定理 可知 所以 是概率函数 二项分布的概率背景 进行n重Bernoulli试验 独立地重复进行n次Bernoulli试验 令X 在这n次Bernoulli试验中事件A发生的次数 设在每次试验中 例1 一个袋子中装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 N1 N2 N 每次从中取出一球 查看完其颜色后再放回 一共取n次 求取到的白球数X的分布 二项分布的均与方差 四 几何分布 若随机变量X的概率函数为 几何分布的验证 由条件 由条件可知 综上所述 可知 是概率函数 几何分布的概率背景 在Bernoulli试验中 设 试验进行到A首次出现为止 即 几何分布的的无记忆性 设X服从几何分布 则对任何两个正整数m n 有 P X m n X m P X n 五 超几何分布 如果随机变量X的概率函数为 超几何分布的均值与方差 超几何分布的概率背景 一批产品有N件 其中有N1件次品 其余N2 N N1件为正品 现从中无放回地取出n件 令 X为取出n件产品中的次品数 则 X的概率函数为 若抽样是有放回的 则随机变量X服从p N1 N的二项分布 即 超几何分布与二项分布的关系 证 六 泊松 Poisson 分布 如果随机变量X的概率函数为 则称随机变量X服从参数为 的Poisson分布 记为X P 泊松分布的验证 由于 可知对任意的自然数m 有 又由幂级数的展开式 可知 所以 是概率函数 Poisson分布的均值与方差 Poisson分布的应用 Poisson分布是概率论中重要的分布之一 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布 例如 电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数 放射物在某一时间间隔内发射的粒子数 容器在某一时间间隔内产生的细菌数 某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数 某一时间间隔内各种事故 自然灾害 不常见病 不幸事件发生的次数 例2 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用参数 10的泊松分布来描述 为了以95 以上的概率保证脱销 问商店在月底应存多少件该种商品 设只在月底进货 二项分布与泊松分布的关系 泊松定理 在n重伯努利试验中 成功次数X服从二项分布 假设每次试验成功的概率为pn 0 pn 1 并且 则对于任何非负整数m 有 由此 对于成功概率为p的n重伯努利试验 只要n充分大 而p充分小 则其成功次数X近似地服从参数 np的泊松分布 即 例3 纺织厂女工照顾800个纺锭 每