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总复习 第八章 第一部分向量代数 第二部分空间解析几何 表示法 向量的模 向量的大小 一 向量的概念 向量 又称矢量 既有大小 又有方向的量称为向量 自由向量 与起点无关的向量 单位向量 模为1的向量 零向量 模为0的向量 有向线段M1M2 或a 或a 规定 零向量与任何向量平行 记作 因平行向量可平移到同一直线上 故两向量平行又称 两向量共线 若k 3 个向量经平移可移到同一平面上 则称此k 个向量共面 二 向量的线性运算 1 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 运算规律 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 2 向量的减法 三角不等式 可见 3 向量与数的乘法 是一个数 规定 总之 运算律 结合律 分配律 因此 定理1 设a为非零向量 则 为唯一实数 三 空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系 坐标原点 坐标轴 x轴 横轴 y轴 纵轴 z轴 竖轴 过空间一定点O 坐标面 卦限 八个 1 空间直角坐标系的基本概念 zOx面 在直角坐标系下 向径 坐标轴上的点P Q R 坐标面上的点A B C 点M 特殊点的坐标 有序数组 称为点M的坐标 原点O 0 0 0 坐标轴 坐标面 2 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下 设点M 则 沿三个坐标轴方向的分向量 的坐标为 记 四 利用坐标作向量的线性运算 则 平行向量对应坐标成比例 五 向量的模 方向角 投影 1 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式 对两点 与 2 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点O 称 AOB 0 为向量 的夹角 类似可定义向量与轴 轴与轴的夹角 与三坐标轴的夹角 为其方向角 方向角的余弦称为其方向余弦 3 向量在轴上的投影 第二节 例如 在坐标轴上的投影分别为 即 投影的性质 为实数 设 1 向量运算 加减 数乘 点积 叉积 混合积 2 向量关系 1 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如 曲线 绕z轴的旋转曲面 柱面 如 曲面 表示母线平行z轴的柱面 又如 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面等 2 二次曲面 三元二次方程 椭球面 抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 如 圆柱螺线 设空间曲线C的一般方程为 消去z得投影柱面 则C在xOy面上的投影曲线C 为 类似地 消去x得C在yOz面上的投影曲线方程 消去y得C在zOx面上的投影曲线方程 空间平面 一般式 点法式 截距式 三点式 1 空间直线与平面的方程 为直线的方向向量 空间直线 一般式 对称式 参数式 为直线上一点 面与面的关系 平面 平面 垂直 平行 夹角公式 2 线面之间的相互关系 直线 线与线的关系 直线 垂直 平行 夹角公式 平面 垂直 平行 夹角公式 面与线间的关系 直线
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