高数下册(同济大学版)第八章.ppt

例1 求证以 证 即 为等腰三角形 的三角形是等腰三角形 为顶点 例2 已知两点 解 例3 解 因 1 设 求向量 在x轴上的投影及在y轴上的分 向量 在y轴上的分向量为 故在x轴上的投影为 例4 已知两点 和 的模 方向余弦和方向角 解 计算向量 例5 第二节 设立方体的一条对角线为OM 一条棱为OA 且 解 如图所示 记 MOA 例6 证明三角形余弦定理 证 如图 则 设 例7 已知三点 AMB 解 则 求 故 例8 已知三点 角形ABC的面积 解 如图所示 求三 例9 已知一四面体的顶点 4 求该四面体体积 解 已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体体积的 故 例10 证明正弦定理 所以 因 例11 1 已知向量 的夹角 且 解 在顶点为 三角形中 求AC边上的高BD 解 三角形ABC的面积为 例12 而 故有 识记 1 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如 曲线 绕z轴的旋转曲面 柱面 如 曲面 表示母线平行z轴的柱面 又如 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面等 识记 二次曲面 三元二次方程 椭球面 抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面 例13 求 在xOy面上的投影曲线方程为 例14 求过三点 即 解 取该平面 的法向量为 的平面 的方程 利用点法式得平面 的方程 例15 求通过x轴和点 4 3 1 的平面方程 例3 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程 解 因平面通过x轴 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简 得所求平面方程 P40例4 自己练习 例16 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程 解 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得 因此有 例17 一平面通过两点 垂直于平面 x y z 0 求其方程 解 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 例18 求曲线 绕z轴旋转的曲面 的交线在xOy平面的投影曲线方程 解 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向xOy面的投影柱面方程为 此曲线在xOy面上的投影曲线方程为 它与所给平面的 与平面 例19 用对称式及参数式表示直线 解 先在直线上找一点 再求直线的方向向量 令x 1 解方程组 得 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路 先找直线上一点 再找直线的方向向量 例20 求以下两直线的夹角 解 直线L1的方向向量为 直线L2的方向向量为 二直线夹角 的余弦为 参考P44例2 从而 解 相交 求此直线方程 的方向向量为 过A点及 面的法向量为 则所求直线的方向向量 方法1利用叉积 所以 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 例21 设所求直线与L2的交点为 待求直线的方向向量 方法2利用所求直线与L2的交点 即 故所求直线方程为 则有 代入上式 得 由点向式得所求直线方程 而 例22 求直线 与平面 的交点 提示 化直线方程为参数方程 代入平面方程得 从而确定交点为 1 2 2 例23 求过点 2 1 3 且与直线 垂直相交的直线方程 提示 先求二直线交点P 化已知直线方程为参数方程 代入 式 可得交点 最后利用两点式得所求直线方程 的平面的法向量为 故其方程为 过已知点且垂直于已知直线 例24 求直线 在平面 上的投影直线方程 提示 过已知直线的平面束方程 从中选择 使其与已知平面垂直 得 这是投影平面 即 从而得投影直线方程 故应有 这是给定的平面 例25 设一平面平行于已知直线 且垂直于已知平面 求该平面法线的 的方向余弦 提示 已知平面的法向量 求出已知直线的方向向量 取所求平面的法向量 所求为 例26 求过直线 且与平面 夹成 角的平面方程 提示 过直线L的平面束方程 其法向量为 已知平面的法向量为 选择 使 从而得所求