概率论与数理统计第二节.ppt

第二节二维随机向量函数的分布 定义3 10若对于二维随机向量 X Y 的每一个可能值 x y 都有另一随机变量Z的相应值z g x y 与之对应 则称随机变量Z为 X Y 的函数 记为Z g X Y 如Z X Y Z XY等 随机向量 2 注意 虽然 X Y 是二维随机向量 但其函数 g X Y 是一维随机变量 下面 我们分离散型和连续型两种情况来讨论 当随机变量X与Y的联合分布已知时 如何求出它们的函数Z g X Y 的分布 因此 从讨论方法上看 二维随机向量函数 g X Y 的分布和一维随机变量函数Y f X 的分布类似 一 离散型随机向量函数的分布 1 列表法 一维表或二维表 2 代数式法 10 2 102 2 11013 例 p151 设二维随机向量 X Y 的概率分布如下表所示 求Z max X Y 的分布 解用二维表形式列出Z的可能值 整理Z的概率分布如下表所示 解 由题意知 i 0 1 2 j 0 1 2 二 代数式法 则Z X Y的取值为 k i j 0 1 2 由X和Y相互独立知 X 0 1 2 kY 0 1 2 k 即Z服从参数为的泊松分布 k 0 1 2 实例 若X为上午8时至10时通过某路口的机动车数量 Y为10时至12时通过此路口的机动车数量 则Z X Y表示 由概率常识知 X和Y服从泊松分布 上午8时至12时通过该路口的机动车数量 且Z也服从泊松分布 例 p153 设X和Y相互独立 且X B n1 p Y B n2 p 证明 证由题意知 实例 若某人多次投篮 X为次投篮中投中的次数 Y为次投篮中投中的次数 显然 Z X Y表示次投篮中投中的次数 且Z也服从二项分布 显然X和Y都服从二项分布 一般来说 对于连续型二维随机向量 X Y 其函数Z g X Y 不一定是连续型随机变量 二 连续型随机向量函数的分布 该例中 X Y 是连续型二维随机变量 但Z g X Y 是离散型随机变量 对于连续型二维随机向量 X Y 如果其函数Z g X Y 也是连续型随机变量 则需要由 X Y 的联合密度函数f x y 求Z的密度函数 通常采用分布函数法 一般步骤为 1 由分布函数的定义 Z的分布函数为 2 Z的密度函数为 例 p154 设 X Y 的密度函数为 求的密度函数 解 面积元素 面积元素 显然 Z服从指数分布 例 p155 设X和Y的联合密度为f x y 求Z X Y的密度 解Z的分布函数为 这里积分区域D x y x y z 是直线x y z左下方的半平面 FZ z P Z z P X Y z 化成二次积分 得 对方括号内的积分作变量代换 令y u x 得 换元必换限 交换积分次序 上式两端求导 即得Z X Y的概率密度为 由于X和Y的对称性 fZ z 又可写成 随机向量 25 化成二次积分 得 令x u y 得 两端求导 得 随机向量 26 以上两式即是两个随机变量之和的概率密度的一般公式 若X和Y相互独立 则上述两式化为 这两个公式称为卷积公式 下面我们用卷积公式来求Z X Y的概率密度 例 p156 泊松积分 随机向量 32 小结 二维随机向量函数的分布 1 离散型随机向量函数的分布 列表法 代数式法 连续型二维随机向量的函数不一定是连