概率论6一维离散型随机变量.ppt

一维随机变量及其分布 在前面的学习中 我们用字母A B C 表示事件 并视之为样本空间 的子集 针对等可能概型 主要研究了用排列组合手段计算事件的概率 本章 将用随机变量表示随机事件 以便采用高等数学的方法描述 研究随机现象 随机变量及其分布 RandomVariableandDistribution 随机变量 基本思想 将样本空间数量化 即用数值来表示试验的结果 有些随机试验的结果可直接用数值来表示 例如 在掷骰子试验中 结果可用1 2 3 4 5 6来表示 例如 掷硬币试验 其结果是用汉字 正面 和 反面 来表示的 可规定 用1表示 正面朝上 用0表示 反面朝上 RandomVariable 有些随机试验的结果不是用数量来表示 但可数量化 例设箱中有10个球 其中有2个红球 8个白球 从中任意抽取2个 观察抽球结果 取球结果为 两个白球 两个红球 一红一白 特点 试验结果数量化了 试验结果与数建立了对应关系 如果用X表示取得的红球数 则X的取值可为0 1 2 此时 两只红球 X取到值2 可记为 X 2 一红一白 记为 X 1 两只白球 记为 X 0 试验结果的数量化 一维随机变量 one dimensionrandomvariable 定义 设随机试验的样本空间的每一个样本点均有唯一的实数 与之对应 称为上的一维随机变量 如 掷骰子一颗 观察其点数 令与之对应 则 是一维随机变量 又如 观察一电子元件的寿命 样本点表示 寿命为小时 令与之对应 则 也是一维随机变量 研究随机变量主要掌握的两个问题 1 找出随机变量的所有可能取值 2 求出随机变量的概率规律 如 掷骰子一颗 取其向上面点数为随机变量X的所有可能取的值为X 1 2 3 4 5 6 其概率规律为 设 是随机变量 则它的取值规律称为 的概率分布 简称分布distribution 随机变量的分布反映了随机事件出现的可能性的大小 一维随机变量的分布函数 定义说明 设为随机变量 是任意实数 则称函数为随机变量的分布函数 分布函数的定义 1 分布函数实际上是一个概率 即随机变量小于等于的概率 也就是 表示落在内的概率 2 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性 随机变量的分布函数有以下重要性质 1 单调不减性 2 右连续性 3 4 设随机变量X的分布函数为 试求 1 系数A与B 2 X落在 1 1 内的概率 解 1 由 一维离散型随机变量的分布 若离散型随机变量X的所有可能取值为ai 而X取值ai的概率为pi 即 如果随机变量的所有取值是有限或可数的 则称之 为离散型随机变量 称为随机变量的分布密度或分布律或概率分布或概率函数 一维离散型随机变量的分布密度有以下重要性质 或 例设X的分布律为 求P 0 X 2 P 0 X 2 P X 1 P X 2 1 2 1 6 2 3 分布律确定概率 求分布律举例 例1设有一批产品20件 其中有3件次品 从中任意抽取2件 如果用X表示抽得的次品数 求随机变量X的分布律及事件 至少抽得一件次品 的概率 解 X的可能取值为0 1 2 P 抽得的两件全为正品 P X 1 P X 2 P 只有一件为次品 P 抽得的两件全为次品 P X 0 故X的分布律为 而 至少抽得一件次品 X 1 X 1 X 2 P X 1 P X 1 P X 2 注意 X 1 与 X 2 是互不相容的 实际上 这仍是等可能概型的计算题 只是表达事件的方式变了 故 解 由 例2设随机变量X的分布律如下 求及X的分布函数 当时 当时 当时 当时 综上所述 几种常见的一维离散型随机变量的分布律 二点分布 0 1分布 定义 若随机变量X的分布律为 则称X服从参数为p的二点分布或 0 1 分布 背景 样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来计算 如 抛硬币一次 重复独立试验 n重贝努里试验 则恰好有一次出现点 6 的概率 贝努里试验 每次试验只有两个结果的试验 出现和不出现 n次独立试验 n次试验条件不变 各次相互独立 例5掷骰子三次 求恰好有一次出现点 6 的概率 解 设表示第次出现点 二项分布 设在一次试验中事件 出现的概率为 X表示 在次贝努里试验中出现的次数 X的分布律为 此分布称为二项分布 记作 二项分布 一级品数X的分布密度 若取出的零件中有一级品 求恰有 例2一大批零件的一级品率是 从中任取4个 求取出的 解 由于零件数目很多 故可将取4个零件视作4次贝努里试验 即 一个一级品的概率 故 所求概率为 若随机变量X的分布密度是 则称X服从泊松分布 记作 泊松分布描述的是大量试验中稀有事件出现的次数的概率分布 其中参数正是试验次数与事件的概率之乘积 即事件出现的平均数 所以它的一个重要应用是 则近似地 有 若 且较大 较小 服务台在某时间段内接待的服务次数X 交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y 矿井在某段时间发生事故的次数 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目 单位体积空气中含有某种微粒的数目 实际问题中若干R v X是服从或近似服从Poisson分布的 例3 解 例4某商店出售某种贵重商品 根据以往经验 每月销售量服从参数为 的泊松分布 问在月初进货时要库存多少件此种商品 才能以99 的概率充分满足顾客的需要 解 设月初库存件k 则 查本书后面的泊松分布表得 即月初进货时 要库存8件这种商品 才能以99 的概率充分满足顾客的需要 解 400次上街 400重Bernoulii实验 记X为出事故的次数 则 P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0 98400 400 0 02 0 98399 0 9972 1 e 8 8e 8 0 9970 泊松定理 结果表明 随着实验次数的增多 小概率事件总会发生的 例 某人骑摩托车上街 出事故率为0 02 独立重复上街400次 求出事故至少两次的概率 若某人做某事的成功率为1 他重复努力400次 则至少成功一次的概率为 成功次数服从二项概率 有百分之一的希望 就要做百分之百的努力 几何分布 geometricdistribution 设在一次试验中 事件 发生的概率为p 0 p 1 则在n重贝努里试验中 事件 在第k次试验中