《等差数列前n项和》PPT课件.ppt

2 3等差数列的前n项和 一 城郊中学高一数学组 复习回顾 等差数列性质 1 通项公式 2 等差数列的定义 1 等差数列8 5 2 的第20项是 2 等差数列 5 9 13 的第n项是 3 已知 an 为等差数列 若a1 3 d an 21 则n 4 已知 an 为等差数列 若a10 d 则a3 49 13 5 在数列 an 中a1 1 an an 1 4 则a10 35 巩固练习 an 4n 1 德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题 1 2 3 100 你知道高斯是怎样算出来的吗 赶快开动脑筋 想一想 高斯的算法实际上解决了求等差数列1 2 3 4 5 6 n 的前100项的和的问题 问题 求和 1 2 3 4 n 探究1 上述求解过程带给我们什么启示 这种方法能否推广到求一般等差数列的前n项的和 1 所求的和可以用首项 末项及项数来表示 2 等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和 问题1 一般我们称Sn为数列 an 的前n项和 即 Sn a1 a2 a3 an 问题2 若Sn为等差数列 an 的前n项和 an 的首项为a1 公差为d 那么有 Sn a1 a2 a3 an 两个公式的异同 等差数列的前n项和公式 比一比 推导等差数列的前n项和公式用了什么方法 应用了等差数列的什么性质 问一问 练一练 由等差数列的前n项和公式及通项公式可知 若已知a1 d n an Sn中三个便可求出其余的两个 即 知三求二 知三求二 的实质是方程思想 即建立方程或方程组求解 例1 设 an 为等差数列 Sn是其前n项和 a7 4 S15 75 求Sn 分析 欲求Sn 只需求a1 d两基本量 由a7 S15可列a1 d的方程组 变式 例2 一凸n边形各内角的度数成等差数列 公差是10 最小内角为100 求边数n 变式 解 由 n 2 180 100n 10 求得n 17n 72 0 n 8或n 9 当n 9时 最大内角100 9 1 10 180 不合题意 舍去 n 8 例3 在等差数列 an 中 1 若a4 a17 20 求S20 2 若共有n项 且前四项之和为21 后四项之和为67 前n项和为Sn 286 求n 1 在等差数列 an 中 已知a3 a99 200 求S101 2 在等差数列 an 中 已知a15 a12 a9 a6 20 求S20 变式 思考探究 一般地 如果一个数列 an 的前n项和为Sn pn2 qn r 其中P q r为常数 且p 0 那么这个数列一定是等差数列吗 如果是 它的首项与公差分别是多少 若数列的前n项和Sn pn2 qn r p q r为常数 当r 0时 an 一定是等差数列 当r 0时 an 不是等差数列 但当n 2时 所组成的数列是等差数列 变式 从二次函数的角度 怎么理解等差数列 an 的前n项和公式 怎样求Sn的最大值或最小值 变式 等差数列 an 的前n项和为Sn 那么数列Sm S2m Sm S3m S2m m为正整数 是等差数列吗 变式 1 等差数列 an 中 a1 a2 a3 a4 30 a5 a6 a7 a8 80 则a9 a10 a11 a12 2 一个等差数列前n项和为25 前2n项和为100 求其前3n项的和 解析 1 由题意知S4 30 S8 S4 80 S4 S8 S4 S12 S8成等差数列 30 80 S12 S8成等差数列 S12 S8 130 而S12 S8 a9 a10 a11 a12 a9 a10 a11 a12 130 2 Sn 25 S2n 100 设S3n x由于Sn S2n Sn S3n S2n成等差数列 25 100 25 x 100成等差 x 100 25 2 100 25 x 100 25 150 x 225 S3n 225 等差数列的奇数项与偶数项和的问题 例7 在等差数列 an 中 S12 354 在这12项中S偶 S奇 32 27 求公差d 变式 1 等差数列前n项和公式 在两个求和公式中 各有五个元素 只要知道其中三个元素 结合通项公式就可求出另两个元素 公式的推证用的是倒序相加法 2 等差数列前n项和公式 1 性质1 Sn An2 Bn A B为常数 an pn q p q为常数 2 性质2 在等差数列中 间隔相等 连续等长的片段和序列仍成等差数列 如 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 公差为4d a1 a2 a3 a2 a3 a4 a3 a4 a5 公差为3d a1 a3 a5 a2 a4 a6 a3 a5 a7 公差为3d 等差数列依次k项之和仍是等差数列 即Sk S2k Sk S3k S2k S4k S3k 成等差数列 且公差为k2d 3 等差数列的前n项和的最值的求法 1 符号转折点法 通项法 2 二次函数法 用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值 但要注意的是 n N 3 图象法 利用二次函数图象的对称性来确定n的值 使Sn取最值 4 等差数列的奇数项与偶