概率论与数理统计第二章辅导.ppt

1 第二章随机变量及其分布 2 第二章随机变量及其分布 一主要内容 一 一维随机变量及其分布1 随机变量的分布函数2 分布函数的性质3 离散型随机变量及其分布函数4 常见离散型随机变量及其分布律 1 两点分布 2 二项分布 3 泊松分布 4 几何分布5 连续型随机变量及其分布函数 3 6常见连续型随机变量及其分布密度 1 均匀分布 2 正态分布 3 指数分布 二 二维随机变量及其分布1 二维随机变量的定义2 二维随机变量的分布函数3 二维离散型随机变量及其分布律4 二维连续型随机变量的分布密度5 边缘分布 6 随机变量的独立性 4 7 随机变量简单函数的分布 1 一维随机变量函数的分布2 二维随机变量函数的分布 仅要求二维离散型 二 应记忆的公式 1 2 计算公式 离散型 连续型 3 若X N 则Y N 0 1 4 常见7种随机变量的分布律或分布密度 5 5 正态分布概率的计算公式 若X N 则1 2 3 4 6 三例题分析 例1从一批产品包括10件正品 3件次品中重复抽取 每次取1件直到取得正品为止 若每件产品被抽到的机会相同 求抽取次数X的分布律解P X 1 10 13 P X 2 3 13 10 12 5 26P X 3 3 13 2 12 10 11 5 143P X 4 3 13 2 12 1 11 10 10 1 286故X的分布律为 7 例2设随机变量X的分布密度为 试求X的分布函数F x 解 当x 0时 当时 当时 8 当时 故X的分布函数为例3设随机变量X的分布律为 9 求的分布律 解 由X的分布律有Y取值为4 1 0 9P Y 0 P X 0 1 5P Y 1 P X 1 P X 1 1 6 1 15 7 30P Y 4 P X 2 P X 2 0 1 5 1 5P Y 9 P X 3 P X 3 11 30 0 11 30故Y的分布律为 10 例4设随机变量X的分布函数为求 1 A的值 2 X落在 0 2 0 6 内的概率 3 X的密度函数f x 解 1 由F x 连续性有F 1 而而F 1 1故A 1 11 2 P 0 2 X 0 6 F 0 6 F 0 2 3 当当故例5已知随机变量X P X 10 c 0 95 P X d 0 023 确定c和d的值 解 已知P x 10 c P X 10 2 c 2 12 所以查表得c 2 1 96故c 3 92又已知P X d 查表得既d 6例6设随机变量 且已知试求X落在区间 9 95 10 05 内的概率 13 解 例7设随机变量X的概率分布为求X的分布函数F x 解 当x 1时 F x 0当 F x P X 1 1 6 14 当 F x P X 1 P X 2 1 6 1 2 2 3当时 F x P X 1 P X 2 P X 3 1故 15 例8 X Y 的联合分布律为 求 1 X的边缘密度 2 Y的边缘密度 16 解 1 X的分布律为 2 Y的分布律为 17 例9设二维随机变量 X Y 的分布密度函数为问X与Y是否相互独立 并说明理由 解 关于X的边缘密度为 关于Y的边缘分布密度为 18 在中 均有故X与Y不独立 例10设二维随机变量 X Y 的分布密度 求分布函数F x y 19 解 例11随机变量X的分布密度为求Y X2的分布密度 20 解 由 21 第二章随机变量及其分布 练习与答案1 一批产品 其中有9件正品 3件次品 现逐一取出使用 直到取出正品为止 求在取到正品以前已取出次品数的分布列 分布函数 2 重复独立抛掷一枚硬币 每次出现正面的概率为 出现反面的概率为 一直抛到正反都出现为止 求所需抛掷次数的分布列 3 对目标进行5000次独立射击 设每次击中的概率为0 001 求至少有两次命中的概率 22 4 已知某元件使用寿命服从参数的指数分布 单位 小时 1 从这类元件中任取一个 求其使用寿命超过5000小时的概率 2 某系统独立地使用10个这种元件 求在5000小时之内这些元件不必更换的个数的分布律5 某加工过程 若采用甲工艺条件 则完成时间 若采用乙工艺条件 则完成时间 1 若要求在60小时内完成 应选何种工艺条件 2 若要求在50小时内完成 应选何种工艺条件 23 6 设某批零件的长度服从 现从这批零件中任取5个 求正好有2个长度小于的概率 7 设分别为服从的随机变量 求的概率密度函数 8 设流入某水库的总水量 单位 百万立方米 服从上的均匀分布 但水库最大容量为7 超过7的水要溢出 求水库存水量的分布函数 9 在箱中装有12只球 其中2只黑球 现从箱中随机地抽取两次 每次抽取一球 用分别表示第一次与第二次取得的黑球数 试分别对有放回抽取与无放回抽取两种情况 1 写出的联合分布列 2 判断是否独立 24 10 设的联合密度函数为求 1 常数 2 3 4 是否独立 11 设相互独立 且密度函数分别为求 12 设相互独立 均服从标准正态分布求的密度函数 25 13 设随机变量 的概率密度为求的概率密度 26 参考答案 1 分布列P2