曾五一应用统计学第3章.ppt

第三章统计数据分布特征的描述 1 主要内容 第一节分布的集中趋势第二节分布的离散趋势第三节偏度与峰度 2 第一节分布的集中趋势 一 测定集中趋势的指标及其作用从计算方法上看 测度数据集中趋势的指标有两大类 数值平均数 算术平均数 调和平均数 几何平均数 位置平均数 中位数 众数 二 作用 1 反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平 2 比较同类现象在不同单位的发展水平 3 比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律 4 分析现象之间的依存关系 二 算术平均数 一 算术平均数的计算1 简单算术平均数 未分组的资料 例 生产小组5个工人的日产量分别为28 25 30 35 42件 则平均工人日产量 28 25 30 35 42 5 32 件 公式 2 加权算术平均数 1 单项式数列的算术平均数例 某机械厂工人日产零件数的分配数列 公式 例 某年我国80个产棉大县的分配数列如表 以组中值作为各组的代表值 假定各组标志值在组内分布是均匀的 3 下列两种情况 分组资料可以不考虑权数 而用简单算术平均数 当各组的权数相同时 当分布数列完全对称时 4 加权算术平均数的频率公式 2 组距式加权算术平均数 3 正确选择权数 当从相对数或平均数求平均数时 选择权数的准则 最终的平均指标的涵义要符合原来相对指标 平均指标 本身的涵义 例 某管理局所属15个企业销售计划完成情况资料如下表 4 是非标志的平均数 1 是非 标志 将总体分成具有某种性质和不具有某种性质两部分 我们所关心标志的称为 是 另一部分称为 非 2 成数 设总体的n个单位中 具有某种特征的单位数是n1个 不具有某种特征的单位数是n0个 n1 n0 n 则有具有某种特征的单位的成数为 不具有某种特征的单位的成数为 例如 设某批电子元件100件产品 经检验有92件合格 8件不和格 则有 3 是非标志数量化 1 当单位具有某种特征 0 当单位不具有某种特征 0 1分布 按加权算术平均数公式计算平均数 可以看出 是非标志的平均数等于总体中具有 是 标志的单位所占的比重 二 算术平均数的数学性质 1 各单位标志值与算术平均数的离差之和等于0 2 各单位标志值与算术平均数的离差平方和为最小 3 变量线性变换的平均数等于变量平均数的线性变换 4 n个独立总体各变量的代数和的平均数等于各总体变量平均数的代数和 对两变量 有 若两变量分别取值如下 则有 那么 三 调和平均数 H 一 调和平均数的公式1 调和平均数 又称倒数平均数 是标志值倒数的算术平均数的倒数 2 简单调和平均数 例 某工厂工人日产零件数资料 3 加权调和平均数 二 调和平均数的应用场合1 作为算术平均数的变形使用 权数m为各组的标志总量 即 2 从相对数或平均数求平均数时 例 某管理局所属15个企业销售计划完成情况资料如下表 四 几何平均数 一 公式1 简单几何平均数 2 加权几何平均数 二 应用 在某些情况下 若总体总量是由标志值相乘得出 这时平均数就应该用几何平均数的方式来计算 例 1 某产品经过三个流水连续作业的车间加工生产而成 本月第一车间的产品合格率为90 第二车间的产品合格率为80 第三车间的产品合格率为70 则全厂的总合格率为 这样平均合格率为 例2 以复利计算利息 若以单利计算 可以看出 以复利计算利息时 n年后本利率的总量为n个 1 r 相乘 所以本利率的平均数用几何平均数计算 若以复利计算 例 设某笔为期20年的投资按复利计算收益 前10年的年利率为10 中间5年的利率为8 最后5年的年利率为6 求平均年利率 五 幂平均数 1 k阶简单幂平均数 2 k阶加权幂平均数 3 当k取不同值时 所以 当用同样变量值资料和权数资料来计算时 六 众数 众数 出现次数最多的变量值 2009年某市80个中型工业企业资料 假定众数组的标志值的分布是均匀的 1 未分组资料和单项式分组资料 出现次数最多的变量值 2 组距分组数列 图示见P48页 七 中位数 1 定义 将总体各单位按其标志值大小顺序排列 处于中点位置单位的标志值 即为中位数 2 未分组资料 3 单项式分组 P49页 例 1 7个人的成绩分别为 56 64 67 75 79 85 87分 则中位数为75分 2 若6个人的成绩分别为 64 67 75 79 85 87分 则中位数为 75 79 2分 即77分 中位数 3 某工厂工人的月工资分布数列如表 4 组距分组数列 1 确定 中位数组 2 假定中位数组内分布是均匀的 计算出中位数来 20百万元 30百万元 第35个 第55个 第40个 共20个 向上累计时 向下累计时 八 算术平均数与中位数和众数的关系 一 数值平均数与位置平均数比较1 适用的数据类型不同 数值平均数只适用定距尺度和定比尺度 而位置平均数还适用定序尺度和定类尺度 2 代表意义有所不同 3 数值平均数极容易受到个别或少数极端值的影响 位置代表值则相反 数列中某些数据的变动不一定会影响到它们的水平 尤其是个别或少数极端值对于它们几乎没有影响 二 众数 中位数和算术平均数的关系 正态分布 正偏分布 负偏分布 皮尔生规则 在适度偏态情况下 根据上述关系 可以从已知的两个平均指标推算另一个平均指标 例如 某科考试结果 有半数考生成绩在80分以上 得84分的考生最多 试估计平均成绩 以判断成绩分布的偏斜情况 解 已知me 80 mo 84 第二节分布的离散趋势 一 变异指标概述1 概念 用来描述总体分布的离中趋势或分散程度的指标 2 作用 1 用以说明平均指标的代表性程度 2 反映社会经济现象变动的均匀性和稳定性 3 研究总体标志值偏离正态的情况 4 是进行抽样推断等统计分析的一个基本指标 例如 假定某车间两个小组工人的月工资 元 资料如下 甲 800 900 1000 1100 1200 乙 900 950 1000 1050 1100 3 两类 1 标志变异指标 反映总体中各变量值离散程度的指标 2 分布变异指标 描述分布状态的指标 说明统计分布偏离正态分布的情况 二 极差 又称 全距 例如 假定某车间两个小组工人的月工资 元 资料如下 甲 800 900 1000 1100 1200 乙 900 950 1000 1050 1100 在分组条件下 三 四分位差 Q D 为了排除部分极端值对变异指标的影响 从总体分布中剔除最大和最小各四分之一的单位 再对剩下的总体半数单位计算全距 即上四分位数与下四分位数之差 称为 四分位间距 四分位间距 的一半称为 四分位差 四 方差 和标准差 一 公式 总体各单位的标志值对算术平均数离差的平方的算术平均数称为方差 对于分组资料 有加权公式 仍用前面的例子 To over 400 100 100 0 400 2800 2100 0 1900 3200 10000 back 三 总方差 组内方差和组间方差 组间方差反映组平均数对总平均数的方差 总方差表示总体各标志值对总平均数的方差 有 其中 组内方差反映组内部标志值对组平均数的方差 称为 方差的加法定理 可以计算 经验相关比指数 表示在总体变异中 有多少是由于分组因素引起的 在总体分组的情况下 变量的总方差可以分解为组内方差和组间方差两部分 四 方差的数学性质 1 变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方 由于 2 变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的平方 对于标准差 3 n个独立总体各变量代数和的方差 等于各变量方差之和 若两变量 对于标准差 五 是非标志的方差与标准差 五 变异系数 不同现象或具有不同水平的单位 不宜直接用变异指标来比较它们的变异程度 必须消除水平高低的影响 才能真正反映出不同水平的变量数列的离散程度 这时应该采用标志值变异的相对指标 即变异系数 变异系数也称离散系数 是各变异指标与其算术平均数的比值 对不同的变异指标计算变异系数 分别有 极差系数 标准差系数 一 统计动差 第三节分布的偏度和峰度 1 动差也称矩 变量 对常数A的k阶动差