电磁场的矢势与标势.ppt

1 电磁波是由运动电荷辐射出来的 例如 无线电波是由发射天线上的高频交变电流辐射出来的 本章研究高频交变电流辐射电磁波的规律 严格来说 天线上的电流和它激发的电磁场是相互作用的 天线电流激发电磁场 而电磁场又反过来作用到天线电流上 影响着天线电流的分布 所以辐射问题本质上也是一个边值问题 天线电流和空间电磁场是相互作用的两方面 需要应用天线表面上的边界条件 同时确定空间中的电磁波的形式和天线上的电流分布 第五章电磁波的辐射 这种问题的求解一般比较复杂 我们仅局限于讨论给定天线上电流分布 计算辐射电磁波 2 对于恒定场 当电场和磁场随时间变化时 电场和磁场都不是保守场 从概念上 描述电磁场的矢势和标势与以前讲过的矢势 标势是不同的概念 从物理意义上 描述电磁场的标势也失去了 电势能 的含义 因而在高频电路中 电压 这一概念也失去意义 5 1电磁场的矢势和标势 3 考虑真空中的电磁场 麦克斯韦方程组为 其中 一 用势描述电磁场 4 因为 所以 可以引入矢势A 使 A的物理意义 在任意时刻 A沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过回路内的磁通量 1 电磁场的矢势 从矢势A的引入可以看出 电磁场的矢势与静磁场的矢势唯一的区别就在于 电磁场的矢势是随时间变化的 1 5 2 电磁场的标势 由于 所以 不可能用一个单独的 标势来描述E 虽然 但由 可得 所以 该式表示 是无旋场 可以引入标势 6 定义 因此 一般情况下电场的 表示式为 2 实际上 在变化情况下电场与磁场发生直接联系 则电场的表示式必然包含矢势A在内 1 2 两式把电磁场用矢势和标势表示出来 但应注意 1 变化的电磁场 E不再是保守力场 不存在势 能的概念 标势 失去作为电场中的势能的意义 7 2 变化的电磁场中 磁场和电场是相互作用着的 整体 必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场 因此我们说 描述电磁场的势有4个分量 思考 当A与时间无关 即 A t 0时 电磁场的特点 当A与时间无关 即 A t 0时 这时 就直接归结为电势 8 二 规范变换和规范不变性 用矢势A和标势 描述电磁场不是唯一的 即给定的E和B并不对应于唯一的A和 1 规范变换 设矢势A和标势 是描述电磁场的一组势 为任意时空函数 做变换 9 有 即 A 和 A 描述同一电磁场 同时也说明描述电磁场的 A 不唯一 势的变换 称为规范变换 每一组势称为一种规范 各种规范描述同一电磁场E和B 因此如果用势来描述电磁场 客观规律跟势的特殊规范选择无关 10 2 规范不变性 当势作规范变换时 所有物理量和物理规律都保持不变 这就是规范不变性 在经典电动力学中 势A和 的引入是作为描述电磁场的一种方法 规范不变性是对这种描述方法所加的要求 在近代物理中 规范变换是由量子力学的基本原理引入的 规范不变性是一条重要的物理原理 11 3 两种重要规范 从数学上来说 之所以存在规范变换自由度 是由于在势的定义式中 只给出了A的旋度 而没有给出A的散度 所以 欲得到具体的势 必须给定A的散度 即规范条件 电磁场E和B本身对A的散度没有任何限制 因此 作为确定势的辅助条件 我们可以取 A为任意的值 每一种选择对应一种规范 从计算方便考虑 在不同问题中可以采用不同的辅助条件 应用最广泛的是以下两种规范条件 12 1 库仑规范 规范条件为 在库仑规范下 A是无散场 由A描述的B也是无散场 而一般情况下 E既是有散场 也是有旋场 在库仑规范下 无旋场 纵场 无散场 横场 13 在库仑规范下 电磁场的纵场部分完全由 描述 横场部分完全由A描述 结论 在库仑规范下 所满足的方程 与静电场方程形式相同 14 这种规范在基本理论以及解决实际辐射问题中是特别方便的 2 洛伦兹规范 规范条件为 在处理波动问题时 势的基本方程化为特别简单的对称形式 15 三 达朗贝尔 d Alembert 方程 1 A和 所满足的微分方程 这就是矢势和标势所满足的微分方程组 16 若采用库仑规范 这种规范的特点是标势所满足的方程与静电场形式相同 其解是库仑势 解出 后代入第一式可解出A 因而可以确定辐射电磁场 17 当采用洛伦兹规范时 所对应的势的方程称为达朗贝尔方程 2 达朗贝尔 d Alembert 方程 这说明 在洛伦兹规范下 J是A的源 是的源 A和均为有源情况下的波动 18 离开电荷电流分布区域以后 矢势和标势都以波动形式在空间中传播 由它们导出的电磁场E和B也以波动形式在空间中传播 注意 两种规范 方程不同 所得的矢势和标势当然不同 但由它们所求得的E和B是完全相同的 即E和B的波动性质是和规范无关的 19 例 讨论单色平面电磁波的势 单色平面电磁波是在没有电荷 电流分布的自由空间中传播 其平面波解为 的 因而势的方程 达朗贝尔方程 变为齐次方程 电磁波的可能解 但这只是方程的通解 对A和 加上洛伦兹条件才得到实际 20 由Lorentz规范条件得 由此可见 只要给定了A 就可以确定单色平面电磁波 此处n为传播方向单位矢量 21 对平面电磁波 0 J 0 由A可以完全确定 原因是 0 电磁场没有纵场分量 结论 电磁场不仅可以由A完全确定 而且只依赖于A的横向分量 影响B和E 原因 对A加上任意纵向分量都不 所以 对于平面电磁波的情形 即使加上洛伦兹条件 A和 仍不是唯一的 能够唯一确定的只是其横向分量 同理 22 如果令纵向分量为零 则 此时 采用库仑规范条件 势方程在自由空间中变为 23 当全空间没有电荷分布时 库仑场的标势 则只剩下 其解的形式为 即保证了A只有横向分量 从而得到 由库仑规范条件得到 方程 24 库仑规范的优点是 它的标势 求出 它的矢势 洛仑兹规范的优点是 它的标势 势方程具有对称性 它的