《建筑力学》第六章剪切和扭转n.ppt

第六章剪切与扭转 学习目标 熟悉剪切与挤压杆件的受力和变性特征 剪切虎克定律与剪应力互等定理 掌握圆轴扭转时的内力及应力 能进行圆轴扭转时的强度计算 第一节剪切与挤压的概念 一 剪切1 剪切的概念两块钢板由一铆钉连接的简图 如图6 1所示 类似于铆钉 杆件受到一对大小相等 方向相反 作用线平行且相距很近并垂直杆轴的外力作用 两力间的横截面将沿外力的方向发生相对错动 这种变形称为剪切变形 剪切面上与截面相切的内力称为剪力 如图6 1 d 所示 发生相对错动的截面称为剪切面 只有一个剪切面的情况为单剪 同时存在两个剪切面的情况称为双剪 2 剪切的计算 以图6 1 a 所示两钢板中的铆钉为研究对象 其受力情况如图6 3 a 所示 首先用截面法求m m截面的内力 将铆钉沿m m截面假想的截开 分为上下两部分 如图6 3 b 所示 取其中任一部分为研究对象 根据静力平衡条件 在剪切面内必有一个与该截面相切的剪力 由平衡条件得 受剪面上的剪力是沿着截面作用的 因此在截面上各点处均引起相应的剪应力 通常剪应力在剪切面上的分布情况比较复杂 为便于工程计算 一般假设剪应力在剪切面上均匀分布 剪应力的计算公式为 为剪切面上的剪力 A为受剪面的面积 为了保证构件在工作中不发生剪切破坏 必须使构件工作时产生的剪应力 不超过材料的许用剪应力 即 二 挤压 1 挤压的概念螺栓 铆钉和销钉等联接件 在承受剪切作用发生剪切变形的同时 还在联接件和被联接件的接触面上相互压紧 这种局部受压的现象称为挤压 如图6 4所示作用在挤压接触面上的压力称为挤压力 发生局部挤压的接触面称为挤压面 2 挤压的计算 由挤压力引起的应力称为挤压应力 用表示 挤压应力的计算公式 为挤压面上的挤压力 为计算挤压面积为保证联结件正常工作 应有足够的挤压强度 其强度条件为 第二节剪应力互等定理与剪切虎克定律 一 剪应力互等定理在一薄壁圆筒表面上绘制多条等间距的圆周线和纵向水平线 使其表面形成许多大小相同的矩形网格 如图6 5 a 所示 然后在该薄壁圆筒的两端施加一对等值反向的外力偶 使其产生扭转变形 如图6 5 b 所示 结果显示 在小变形情况下 各圆周线的大小和间距没有变化 只是绕筒轴线作相对转动 各纵向线仍为直线 但都倾斜了相同的角度 所有矩形都变成了同样形状和大小的平行四边形 由实验现象 可做出以下推断 由于两任意圆周线间的距离不变 故圆筒横截面上没有正应力存在 因垂直于半径的小方格发生了相对错动 所以圆筒横截面上必然存在剪应力 且其方向垂直于半径 因圆筒壁很薄 可以认为沿壁厚剪应力及剪应变都是均匀分布的 在单元体两个互相垂直的平面上 同时存在垂直于公共棱边且数值相等的剪应力 其方向均指向或背离两平面的交线 这种关系称为剪应力互等定理 二 剪切胡克定律 如果单元体上只存在剪应力而无正应力 这种单元体的受力状态称为纯剪应力状态 如图6 5 c d 所示 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 剪应力与剪应变成正比 上式称为剪切胡克定律 式中 比例常数 称材料的切变模量 与材料性质有关 可用实验的方法得出 常用单位为 材料的切变模量与弹性模量 泊松比的关系为 第三节圆轴扭转时的内力及应力 一 扭转1 扭转的概念 在外力作用下 杆件各横截面均绕杆轴线相对转动 杆轴线始终保持直线 这种变形形式称为扭转变形 2 外力偶矩 工程中一般不直接给出作用于轴上的外力偶矩 只给出传动轴的转速及其所传递的功率 它们之间的关系为 式中 为作用在轴上的外力偶矩 P为传动轴所传递的功率 n为传动轴的转速 通常 输入力偶矩为主动力偶矩 其转向与轴的转向相同 输出力偶矩为阻力偶矩 其转向与轴的转向相反 例6 1 如图6 7所示传动轴 功率由主动轮B输入 输入功率 通过从动轮A C输出 输出功率分别为 已知转速 试计算其外力偶距 解 A B C三轮上的外力偶矩 可由式 6 7 分别计算得出 二 内力 1 扭矩等截面圆杆AB 如图6 8 a 所示 杆两端作用一对方向相反 力偶矩均为Me的外力偶 采用截面法分析圆杆AB的内力 在杆AB的任意横截面m m处将杆假想地截成两部分 取其左段为研究对象 如图6 8 b 所示 因隔离体处于平衡状态 则m m横截面上必存在一个内力偶矩 用Mt表示 内力偶矩Mt的矢量方向与所在横截面垂直 由平衡条件 得Mt Me 0即 Me Mt式中 Mt称为m m横截面上的扭矩 若取m m截面右段为研究对象 则求得m m截面上的扭矩与用左段为研究对象所求得的扭矩大小相等 方向相反 如图6 8 c 所示 为使两种算法所得到的同一截面上的扭矩不仅数值相等 而且正负号相同 对扭矩的正负号规定如下 按右手螺旋法则 让四个手指与扭矩的转向一致 大拇指伸出的方向与截面的外法线n方向一致时 为正 如图6 9 a 所示 反之为负 如图6 9 b 所示 注 用截面法计算扭矩时 通常先假设扭矩为正 然后根据计算结果的正负确定扭矩的实际方向 2 扭矩图 一般情况下 沿杆件轴线各横截面上的扭矩会随外力偶矩的变化而变化 扭矩Mt是横截面位置x的函数 例6 2 试画出如图6 10 a 所示轴的扭矩图 解 1 计算扭矩如图6 10 b 所示 将轴分为2段 逐段计算扭矩 对AB段 对BC段 2 画扭矩图根据计算结果 按比例画扭矩图 如图6 10 c 示 三 应力1 变形现象与假设 在圆截面直杆的表面上划上许多等距离的平行于杆轴线方向的纵向线和垂直于杆轴线方向的圆周线 这些线条将圆杆表面分成多个矩形网格 如图6 11 a 所示 在杆件两端施加外力偶矩 圆杆产生扭转变形 如图6 11 b 所示 2 横截面上的剪应力 用截面m m和n n从图6 11 b 中圆轴上取出长为dx的一微段杆 如图6 12 a 所示 再从此微段杆中取出一半径为 的圆柱体 如图6 12 b 所示 若n n截面相对于m m截面转动了一个角度d 称d 为dx段的扭转角 由公式 6 9 可知 当 剪应力达最大值 即 令 则圆轴扭转时 横截面上的最大剪应力为 式中 注 上述公式均只适用于圆轴在线弹性范围内的扭转 等于横截面半径r时 称为截面的扭转截面系数 只与截面形状 尺寸有关 常用单位为 2 圆截面极惯性矩及截面扭转系数的计算 实心圆截面如图6 15 a 所示 在距圆心为 处 取宽度为d 的环形面积作为面积元素 则实心圆截面极惯性矩为 式中d为实心圆截面的直径 实心圆截面的扭转截面系数为 均为正值 对如图6 15 b 所示的空心圆杆 惯性矩及扭转截面系数分别为 式中d为内径 D为外径 例6 3 内径d 60 外径D 100 的空心圆轴的横截面 如图6 16所示 在扭矩 6KN m作用时 计算 40 的A点处的剪应力及横截面上的最大 最小剪应力 解 1 计算截面的极惯性矩 2 计算剪应力 最大剪应力发生在空心圆轴外表面 即 处 最小剪应力发生在空心圆轴内表面 即处 第四节圆轴扭转时的强度计算 等截面圆轴的强度条件为整个圆轴截面上的最大剪应力不超出材料的许用剪应力 有 式中 材料的许用剪应力 可通过扭转试验测得材料的极限剪应力后 除以安全系数得到 解 1 内力计算作圆轴的扭矩图 如图6 17 所示 AB