夜大《高数》D专升本第一部分无穷级数.ppt

1 高等数学D D 上海大学数学系王培康 高等数学 2 高等数学D 本课程教学内容 第七章无穷级数 第六节不要求 第八章微分方程 第七节不要求 第十章多元函数微分学 第六 七节不要求 第十一章重积分 第三节不要求 本课程考核方式 1 期末考试 半开卷 占总评成绩70 2 平时考勤记录 占总评成绩30 3 高等数学D 第七章无穷级数 4 高等数学D 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分 是表示函数 研究函数的性质以及进行数值计算的一种有力工具 常 数项级数 级数 幂级数 函数项级数 正项级数 任意项级数 傅里叶级数 交错级数 5 高等数学D 第一节无穷级数的基本概念和性质 一 无穷级数的基本概念 定义 称为常数项无穷级数 简称常数项级数 设给定一个数列 问题 即有没有和数 其中un称为级数的一般项 或通项 或 无穷级数 或级数 6 高等数学D 2 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的 无限项相加是否有和数 可能有 也可能没有 如何研究它 通过有限项之和去认识和研究无限项之和 定义 级数前n项之和 组成的数列称为级数的部分和数列 7 高等数学D 部分和数列 Sn 显然 8 高等数学D 发散的级数没有和 极限值S称为级数的和 3 级数的收敛和发散 定义 C D 9 高等数学D 其差值rn 称为级数的余项 10 高等数学D 讨论等比级数 几何级数 的敛散性 例1 解 11 高等数学D 12 高等数学D 解 原级数 D 例2 13 高等数学D 例3 解 原级数 C 14 高等数学D 二 级数的基本性质 性质1 k是常数 证 证毕 15 高等数学D 推论 性质1 k是常数 16 高等数学D 性质2 收敛级数可逐项相加减 设有两个收敛级数 推论 17 高等数学D 由性质2 矛盾 推论 C D D 证 C C C 18 高等数学D 两个发散级数逐项相加减后的情况不定 如 19 高等数学D 在级数前加上或去掉或改变有限项 不影响级数的敛散性 但收敛时其和会改变 C 例 性质3 C C 20 高等数学D 收敛级数对其项任意加括号后所组成的级数仍然收敛 且其和不变 证 部分和为Sn 性质4 按某一规律加括号后的级数 证毕 该性质可理解为收敛的级数满足加法结合律 21 高等数学D 发散级数加括号后所成级数不一定发散 注1 例 D C 加括号后所成的级数发散 3 则原级数也发散 甚至 对一个发散的级数 若按不同的方式加括号 所得的级数可能收敛于不同的和 发散的级数不满足加法结合律 收敛于0 加括号后所得的级数 D 添加了括号后所得的级数收敛并不能保证原来的级 2 例 数收敛 而原来的级数 22 高等数学D 性质5 证 级数收敛的必要条件 说明 23 高等数学D 级数发散 例2 证明调和级数 发散 证 反证 此时 解 24 高等数学D 但 矛盾 25 高等数学D 课外作业 习题7 1 第173页 4 1 2 3 26 高等数学D 习题7 1 第173页 4 判断下列级数的敛散性 级数为等比级数 公比为 级数收敛 级数发散 27 高等数学D 4 判断下列级数的敛散性 等比级数 的公比为 则由性质1知原级数收敛 等比级数 的公比为 28 高等数学D 4 判断下列级数的敛散性 则由级数收敛的必要条件知原级数发散 29 高等数学D 1 定义 许多级数敛散性的判断都可以归结为正项级数的敛散性的判断 第二节正项级数 30 高等数学D 2 正项级数收敛的充要条件 证 收敛数列必有界 定理 C 证毕 31 高等数学D 如 有界 无界 则其必发散 32 高等数学D 3 审敛法 判别法 比较审敛法 设有两个正项级数 C C 1 2 D D 则 大的收敛则小的也收敛 小的发散则大的也发散 33 高等数学D 证 1 2 34 高等数学D 推论 即正项级数若从某项后满足比较审敛法的条件 仍得同样结果 结论同样成立 甚至上式只要在某个自然数后开始成立即可 35 高等数学D 重要级数 证 36 高等数学D 证毕 37 高等数学D 因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较 等比级数 P 级数 所以必须掌握一些已知敛散的级数 常用 调和级数 D 38 高等数学D 例1 判别下列正项级数的敛散性 1 解 39 高等数学D 2 解 40 高等数学D 3 解 41 高等数学D 比较审敛法的极限形式 设正项级数 42 高等数学D 例2 判别前例中级数 1 2 的敛散性 原级数收敛 解 43 高等数学D 原级数发散 解 44 高等数学D 解 例3 判别级数的敛散性 原级数发散 45 高等数学D 解 原级数收敛 46 高等数学D 解 原级数收敛 47 高等数学D 比值审敛法 达朗贝尔判别法 设正项级数 则当 敛散性不定 48 高等数学D 解 原级数收敛 例1 判别下列正项级数的敛散性 49 高等数学D 解 原级数收敛 50 高等数学D 3 解 由此题结论还可得 51 高等数学D 前面介绍的判别正项级数敛散性的比较 比值审敛方法 它们都是充分条件 如果用它们无法判断该正项级数敛散性 那么就要尝试用级数收敛的定义 收敛级数的性质等去判别 52 高等数学D 课外作业 习题7 2 第177页 1 4 5 2 1 53 高等数学D 第三节交错级数与任意项级数 各项正负交错的级数称为交错级数 定义 如 其中 一 交错级数及其审敛法 54 高等数学D 交错级数审敛法 莱布尼兹定理 若交错级数 满足条件 则此级数收敛 55 高等数学D 判别下列级数的敛散性 1 解 例 莱布尼兹级数 56 高等数学D 2 解 57 高等数学D 二 任意项级数 任意项级数的敛散情况有下列三种 对任意项级数 一般有无穷多正项 无穷多负项 但其各项的绝对值 组成了正项级数 1 绝对收敛 2 条件收敛 3 发散 58 高等数学D 定义 A C C C 59 高等数学D 定理 绝对收敛的级数必收敛 60 高等数学D 证 61 高等数学D 说明 绝对收敛级数都是收敛级数 反之不成立 即收敛级数未必是绝对收敛级数 例 62 高等数学D 判别下列级数的敛散性 若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛 例 63 高等数学D 2 64 高等数学D 3 用比值法 65 高等数学D 4 66 高等数学D 为什么要讨论级数的绝对收敛与条件收敛 绝对收敛级数可以任意交换项的位置而不 因为有很多性质是绝对收敛级数所具备的 而条件收敛的级数不具备 如 性质 改变它的收敛性及和数 注 条件收敛的级数不具有这一性质 如 条件收敛 其和记为S 可以证明重新排序后的级数 收敛于 67 高等数学D 条件收敛 其和记为S 证明重新排序后的级数 收敛于 它收敛于 再将它与原级数逐项相加 得重新排序后的级数 显然收敛于 68 高等数学D 黎曼于1854年证明了 可以把任何一个条件收敛的级数的项适当重排 使新级数收敛于任何事先指定的数 也可以使重排后的级数发散于正无穷大或负无穷大 69 高等数学D 课外作业 习题7 3 第181页 1 2 4 6 9 70 高等数学D 习题7 2 第177页 1 用比较判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛散性 则由正项级数的比较判别法知原级数收敛 71 高等数学D 则由正项级数的比较判别法极限形式知原级数收敛 1 用比较判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛散性 72 高等数学D 则由正项级数的比值判别法知原级数发散 2 用比值判别法或其极限形式判别下列正项级数的敛散性 73 高等数学D 四 幂级数 74 高等数学D 一 函数项级数的概念 定义 简称 函数项 级数 称为定义在区间I上的函数项无穷级数 75 高等数学D 收敛点全体称为它的收敛域 发散点全体称为它的发散域 76 高等数学D 对于I中的每一点 不是收敛点就是发散点 对收敛域内任一点x 函数项级数退化为 一收敛的常数项级数 所以有一确定的和S 显然S与x有关 由x惟一确定 所以收敛域上函数项级数的和是点x的函数 记为S x 称为函数项级数的和函数 其定义域就是 注意 与一般项un x 的定义域不同 77 高等数学D 同样 78 高等数学D 解 所以的收敛域为 1 1 由前面的讨论可知 当 时 这级数收敛于和 当 时 这级数发散 发散域为 和函数为 注意 和函数的定义域小于级数的定义域 79 高等数学D 习题7 3 第181页 1 判断下列级数是否收敛 如果是收敛级数 指出是绝对收敛 还是条件收敛 则原级数绝对收敛 80 高等数学D 则原级数绝对收敛 1 判断下列级数是否收敛 如果是收敛级数 指出是绝对收敛 还是条件收敛 81 高等数学D 则原级数绝对收敛 1 判断下列级数是否收敛 如果是收敛级数 指出是绝对收敛 还是条件收敛 82 高等数学D 则原级数发散 1 判断下列级数是否收敛 如果是收敛级数 指出是绝对收敛 还是条件收敛 83 高等数学D 二 幂级数及其收敛域 定义 的级数称为幂级数 其中常数称为幂级数的系数 形如 显然 幂级数的定义域为 显然是幂级数的收敛点 84 高等数学D 幂级数是函数项级数中最常见最简单的一种 定理1 阿贝尔定理 其收敛域如何 在收敛域内 和函数如何求 85 高等数学D 即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂 1 说明 收敛 发散 86 高等数学D 收敛半径 记为R 2 在收敛域与发散域之间的分界点 上 幂级数可能收敛也可能发散 发散 发散 87 高等数学D 推论 也不是在整个数轴上都收敛 则必有一个完全确定 的正数R存在 使得 88 高等数学D 则R 0 收敛区间 收敛域为 四种情况之一 89 高等数学D 如果幂级数 在 处条件收敛 那么该幂级数的收敛半径为多少 思考 90 高等数学D 若 91 高等数学D 求下列幂级数的收敛半径与收敛区间 解 由定理2 例 1 92 高等数学D 解 93 高等数学D 解 94 高等数学D 解 所以R 1 收敛区间为 95 高等数学D 三 幂级数的运算与性质 1 加减法 1 代数运算 96 高等数学D 柯西乘积 97 高等数学D 2 乘法 柯西乘积 98 高等数学D 2 分析运算 逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径 但在端点处敛散性可能会改变 99 高等数学D 反复用上述结论 可知S x 在收敛域内有任意阶导数 逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径 但在端点处敛散性可能会改变 100 高等数学D 用逐项求导或逐项积分的方法 可 求得一些级数在收敛区间内的和函数 101 高等数学D 求下列幂级数的收敛区间与和函数 解 不必先求收敛区间 在求和函数的过程中 可求得收敛区间 先逐项求导 102 高等数学D 103 高等数学D 先逐项积分 解 104 高等数学D 可见 关键在于求导或积分后所得的幂级数能写出和函数 105 高等数学D 课外作业 习题7 4 第186页 1 1 2 5 3 1 2 106 高等数学D 习题7 4 第186页 1 求下列级数的收敛域 107 高等数学D 3 求下列级数的收敛区间及和函数 108 高等数学D 五 函数展开为幂级数 109 高等数学D 一 泰勒 Taylor 级数 110 高等数学D 展开到n阶 拉格朗日 型余项 111 高等数学D 定义 若在处有任意阶导数 则称 问题 1 上述级数的收敛域是什么 2 在收敛域上 其和函数是否为f x 3 把f x 展开成幂级数是否就是上述形式 或者说把f x 展开成幂级数形式是否唯一 112 高等数学D 定理1 证明 113 高等数学D 114 高等数学D 定理2 唯一性定理 若f x 可以在x0的某邻域内展开为幂级数 则这样的幂级数只能是泰勒级数 115 高等数学D 116 高等数学D 二 函数展开成幂级数 117 高等数学D 118 高等数学D 例 将下列函数展开成x的幂级数 解 于是得级数 易得收敛半径为 119 高等数学D 120 高等数学D 121 高等数学D 解 例 将下列函数展开成x的幂级数 122 高等数学D 123 高等数学