平面问题的极坐标解答.ppt

第四章平面问题的极坐标解答 绪论极坐标中的平衡微分方程极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的应力函数与相容方程应力分量的坐标变换式轴对称应力和相应的位移圆环或圆筒受均布压力圆孔的孔口应力集中半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受分布力 主要内容 绪论 极坐标系中任一点用径向坐标r和环向坐标f表示 径向坐标从原点出发 向外为正 环向坐标从轴x向y轴转动方向为正 与直角坐标系相比 上述区别必然会引起弹性力学中物理量定义及基本方程的差异 相同点 均为正交坐标系 不同点 直角坐标系中两坐标线均为直线 有固定方向 量纲均为L极坐标系中径向坐标线r为直线 环向坐标线f则为圆弧曲线 不同点有不同方向 量纲分别为L和1 绪论 正负号规定 正坐标面上以沿正坐标方向为正 负向为负 负坐标面上以沿负坐标方向为正 正向为负 极座标系下应力分量的定义 选取由两条径向线和两条环向线所围成的微分体PACB 厚度为1 沿r方向的正应力称为径向正应力 用sr表示 沿j方向的正应力称为环向正应力或切向正应力 用sj表示 切应力用trj及tjr表示 绪论 体力 径向及环向的体力分量分别用fr和fj表示 以沿正坐标方向为正 负向为负 面力 径向及环向的面力分量分别用和表示 以沿正坐标方向为正 负向为负 极座标系下外力的定义 绪论 采用极坐标系求解的适用性 对于由径向线或圆弧线所围成的圆形 圆环形 楔形 扇形等弹性体 由于用极坐标表示其边界线非常方便 从而使得边界条件的表示和基本方程的求解得到很大的简化 宜用极坐标求解 绪论极坐标中的平衡微分方程极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的应力函数与相容方程应力分量的坐标变换式轴对称应力和相应的位移圆环或圆筒受均布压力圆孔的孔口应力集中半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受分布力 主要内容 4 1极坐标中的平衡微分方程 考虑问题的基础知识 平面上的静力学知识 分析问题方法 在弹性体内任一点选取一个微分单元体 然后分析其平衡条件 平面力系和力矩 微分体 如图由夹角为df的两径向线和距离为dr的两环向线围成 4 1极坐标中的平衡微分方程注意事项 注意 1 两f面不平行 夹角为df 2 两r面PB和AC的面积不相同 分别为rdf 1和 r dr df 1 但两者平行 3 两f面PA和BC的面积均为dr 1 但两者不平行 4 1极坐标中的平衡微分方程受力分析 微分体上的受力 1 体力 fr和ff 以坐标轴正向为正 2 应力 负r面PB和负f面PA的应力sr trj sj tjr 正r面AC和正f面BC上的应力根据级数展开求出 4 1极坐标中的平衡微分方程平衡条件 应用假设 连续性和小变形 与直角坐标中相似 利用级数展开 可求出各微面上的应力 力矩平衡条件 由通过中心点并平行于Z轴的直线为转轴 根据力矩的平衡条件 可推导出 切应力互等定理 即 极坐标中的平衡微分方程 力系平衡条件 将微分体所受各力分别投影到微分体中心的径向轴和环向轴上 可分别列出径向和环向的平衡方程 即 极坐标中的平衡微分方程 其中可取 通过形心C的r向合力为0 极坐标中的平衡微分方程 上式中一阶微量相互抵消 保留到二阶微量 得 式 a 中1 2 4项与直角坐标的方向相似 而 是由于 r面面积大于 r面面积而引起的 是由于 f面上的sf在C点的r向有投影 极坐标中的平衡微分方程 通过形心C的f向合力为0 略去三阶微量 保留到二阶微量 得 极坐标中的平衡微分方程 式 a 中1 2 4项与直角坐标的方向相似 而 是由于 r面面积大于 r面面积而引起的 是由于 f面上的切应力tfr在C点的f向有投影 平衡微分方程 注意事项 列平衡条件时 应力和体力应分别乘以其作用面积和体积 才能得到合力 应用了两个基本假设 连续性假设和小变形假设 这也是其适用的条件 平衡微分方程表示了平面区域内任一点的平衡条件 平面应力问题和平面应变问题的平衡微分方程相同 绪论极坐标中的平衡微分方程极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的应力函数与相容方程应力分量的坐标变换式轴对称应力和相应的位移圆环或圆筒受均布压力圆孔的孔口应力集中半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受分布力 主要内容 4 2极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标系中的应变分量 径向线应变er 径向线段的线应变环向线应变ej 环向线段的线应变切应变grj 径向和环向两线段间直角的改变 极坐标系中的位移分量 径向位移ur 径向方向的位移环向位移uj 环向方向的位移 几何方程 表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式 极坐标中的几何方程与物理方程 微分线段 如图从弹性体内任一点 r f 沿两个坐标正向作微分线段PA和PB PA drPB rdf 为了推导方便 先分别考虑只有径向位移和只有环向位移的情形 然后根据弹性力学的叠加原理 得到径向和环向位移都发生时极坐标系中的几何方程 极坐标中的几何方程 首先 假定只有径向位移 图中P A和B点的位移分别为 径向线段PA的线应变和转角分别为 环向线段PB的线应变和转角分别为 切应变为 极坐标中的几何方程 其次 假定只有环向位移 图中P A和B点的位移分别为 径向线段PA的线应变和转角分别为 环向线段PB的线应变和转角分别为 切应变为 极坐标中的几何方程 根据叠加原理 当同时发生径向和环向位移时 极坐标中的几何方程为上述两种情形结果的叠加 4 2 应用了两个基本假设 连续性假设和小变形假设 这也是其适用的条件 极坐标中的物理方程 由于本构方程是弹性体弹性参数的反映 与坐标系的选择无关 对于直角坐标系和极坐标系 因为它们都是正交坐标系 因此两坐标系下的物理方程具有相同的形式 物理方程 应力与应变的关系 对于理想弹性体 平面应力问题的物理方程 极坐标中的物理方程 对于理想弹性体 将直角坐标系的物理方程中下标作相应的替换 可得极坐标中平面应力问题的物理方程如下 将平面应力问题物理方程中的E和m作如下替换 可得平面应变问题的物理方程 4 4 极坐标中的边界条件 1 对于由径向线和环向线所围成的弹性体 其边界面通常均为坐标面 即r面 r为常数 和f面 f为常数 使边界的表示变得十分简单 所以边界条件也十分简单2 对于应力边界条件 通常给定径向和切向面力值 可直接与对应的应力分量建立等式 注意符号规定 极坐标系中边界条件的处理 极坐标中的边界条件 3 对于位移边界条件 所给定的约束条件通常是径向位移值和环向位移值 可直接由ur和uj建立等式 例题 例1 写出习题4 9的应力边界条件 例2 写出习题4 12的应力边界条件 在y轴正半轴上 正f面 在y轴负半轴上 负f面 在左边界上 正f面 在右边界上 负f面 绪论极坐标中的平衡微分方程极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的应力函数与相容方程应力分量的坐标变换式轴对称应力和相应的位移圆环或圆筒受均布压力圆孔的孔口应力集中半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受分布力 主要内容 4 3极坐标中的应力函数与相容方程 在极坐标系下求解平面问题时 其一切公式可以如同直角坐标系中一样从头导出 但是也可以简化公式的推导 直接通过坐标变换关系 将直角坐标系中的各种物理量和公式转换到极坐标系中 变换1 坐标变量的变换 反之 极坐标中的应力函数与相容方程 变换2 函数的变换 只需将上述坐标变换式 a 或 b 代入函数即可 反之 变换3 位移的变换 如图 通过投影的方法 可得位移的坐标变换式如下 极坐标中的应力函数与相容方程 变换4 导数的变换 由坐标变量的变换 可得导数的变换式 极坐标中的应力函数与相容方程 变换5 应力函数的一阶导数的变换 由复合函数的求导法则 变换6 应力函数二阶导数的变换可从一阶导数得出 因为 同理 即可得出教材中的 a c 式 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量表达式 极坐标中应力用应力函数的表示可考虑如下几种导出方法 a 从平衡微分方程直接导出 类似于直角坐标系中的方法 b 应用特殊关系式 即当x轴和y轴分别转到r轴和j轴时 极坐标中的应力函数与相容方程 4 5 应力分量表达式 由左图可知 当x轴和y轴分别转到r轴和j轴时 有j 0 由直角坐标中应力分量的表达式 当不计体力时 极坐标中应力分量可由应力函数表达如下 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量表达式 极坐标中应力用应力函数的表示可考虑如下几种导出方法 a 从平衡微分方程直接导出 类似于直角坐标系中的方法 b 应用特殊关系式 即当x轴和y轴分别转到r轴和j轴时 c 应用两种座标系下的应力变换关系式 下节 4 7 极坐标中的应力函数与相容方程 4 7 当不计体力时 由直角坐标系中的应力表达式 及应力函数二次导数的坐标变换式 a c 可导出极座标系下的应力分量表达式 例如 极坐标中的应力函数与相容方程 将教材中的 a 和 b 式相加 得到应力函数的拉普拉斯算子运算式如下 根据上式及直角坐标系下的相容方程 当不计体力时 可得极坐标中的相容方程为 4 6 极坐标中的应力函数与