向量数乘运算及其几何意义.ppt

向量的数乘运算及其几何意义 1 向量加法三角形法则 特点 首尾相接 首尾连 特点 共起点 特点 共起点 连终点 方向指向被减数 2 向量加法平行四边形法则 3 向量减法三角形法则 实际背景 讲授新课 思考题1 已知向量如何作出和 记 即 同理可得 思考题2 向量与向量有什么关系 向量与向量有什么关系 1 向量的方向与的方向相同 向量的长度是的3倍 即 2 向量的方向与的方向相反 向量的长度是的3倍 即 一 向量的数乘运算的定义 注意 比较两个向量时 主要看它们的长度和方向 二 数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短 若 当沿的方向放大了倍 当沿的方向缩短了倍 当 沿的反方向放大了倍 当沿的反方向缩短了倍 由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题 解 1 2 1 根据定义 求作向量3 2a 和 6a a为非零向量 并进行比较 2 已知向量a b 求作向量2 a b 和2a 2b 并进行比较 三 向量的数乘运算满足如下运算律 向量的加 减 数乘运算统称为向量的线性运算 例2 计算下列各式 共线向量的充要条件 向量共线定理 1 把下列各小题中得向量b表示为实数与向量a得积 练习 2 判断下列各小题中的向量a与b是否共线 练习 例3 设AB 2 a 5b BC 2a 8b CD 3 a b 求证 A B D三点共线 分析 要证A B D三点共线 可证 AB BD关键是找到 解 BD BC CD 2a 8b 3 a b a 5b AB 2BD A B D三点共线 向量与非零向量共线有且仅有一个实数 使得 定理 例4 如图 已知 试判断与是否共线 与共线 解 向量与非零向量共线有且仅有一个实数 使得 定理 解 作图如右 O 依图猜想 A B C三点共线 A B C三点共线 例5 如图 在平行四边形ABCD中 点M是AB中点 点N在线段BD上 且有BN BD 求证 M N C三点共线 练习 例7 若其中 是已知向量 求 分析 此题可把已知条件看作向量的方程 通过解方程组获得 解 记 3 得 得 例8 在中 设D为边 的中点 求证 解 因为 则四边形ABEC是平行四边形 D是BC中点 则D也是AE中点 由向量加法平行四边形法则有 解2 例8 在中 设D为边 的中点 求证 例8 在中 设D为边 的中点 求证 解 所以 所证等式成立 练习 如图 在中 延长BA到C 使AC BA 在OB上取点D 使BD OB DC与OA交于E 设请用 分析 解题的关键是建立的联系 为此需要利用向量的加 减法数乘运算 解 因为A是BC的中点 所以 基础知识反馈 C A B 2 设是非零向量 是非零实数 下列结论正确的是 D 1 下列四个说法正确的个数有 B 2个 A 1个 C 3个 D 4个 B C 练习 C 分析 由所以 在平行四边形ABCD中 M为BC的中点 则等于 1 2 A B C D 课堂小结 向量与平面几何 C C 四边形ABCD是菱形 四边形ABCD是矩形 对于任意一个三角形 三角形的三条高的交点叫做垂心 三角形的三条中线的交点所为重心 三角形的三条角平分线的交点叫内心 三角形的三条中垂线的交点叫外心 向量与三角形的 心 O D M O M 外心 重心 重心 通过三角形ABC的 内心 例1 0 则P的轨迹一定通过 ABC的 A