数形结合思想在教学中的应用(王新华).ppt

大连市第六中学王新华 数形结合解题策略 恩格斯曾说过 数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系 既分析其代数意义 又揭示其几何直观 使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙 和谐地结合在一起 充分利用这种结合 寻找解题思路 使问题化难为易 化繁为简 从而得到解决 数 与 形 是一对矛盾 宇宙间万物无不是 数 和 形 的矛盾的统一 数无形时少直观 形无数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 华罗庚 数形结合思想方法的理解 数和形是数学的两大支柱 数形结合思想方法就是通过数与形 用数解形 以形助数 处理数学问题 这是由客观世界和数学本身决定 数形结合思想方法贯穿于整个初中数学之中 集中体现为两个方面 一是对直观图形赋予代数意义 要求学生能根据直观图形将实际问题抽象为数字问题 二是对抽象的数学问题赋予直观图形的意义 以形助数 抽象的数学语言直观的图像代数问题几何图形 用数解形 以形助数 代数问题几何化 几何问题代数化 数形结合的两个方面 1 等价性原则2 双向性原则3 简单性原则4 直观性原则 数形结合的原则 1 等价性原则 是指代数性质与几何性质的转换应该是等价的 否则解题会出现漏洞 有时 由于图形的局限性 不能完整的表现数的一般性 这时的图形性质只是一种直观而显浅的说明 但他同时也是抽象而严格证明的诱导 2 双向性原则 就是既进行几何直观的分析 又进行代数抽象的探索 两方面相辅相成 遇到问题进行几何分析或者仅对几何问题进行代数分析搜是一种探针的误解 3 简单性原则 让复杂问题简单化 找到解题思路后 至于用几何方法还是代数方法 后者兼用两种方法来叙述 取决于哪种方法更加优美 更加简单 或者便于达到教学目的 而不是一种理性的模式那样 代数问题用几何方法 几何问题用代数方法 4 直观性原则 以形助数时 能够通过直观分析 将抽象的数学问题简单化 具体化 直观化 问题理解起来更加明了 深刻 数形结合的途径 1 通过转化 如通过分析数式的结构 将a 0与距离互化 将面积 ab 与面积互化 将与体积转化 将与勾股定理沟通 将与三角形边沟通 2 通过平面直角坐标系 3 通过构造 可以构造几何模型 构造函数或构造一个图形 概念是思维的基础 也是思维的方式 一切的分析 推理 想象都要依据货运用概念 数学中的概念往往反映的数量关系 这种数量关系常用文字 符号表示 而图形也是一种语言 而且更简练 更直观的 图像语言 运用图像语言对文字语言加以解释 一方面可渗透数形结合的思想 另一方面又能帮助学生更好的理解概念 一 在概念教学中 以形助数 渗透数形结合的思想 在数学教学中怎样渗透数形结合思想方法 如 用数轴的点表示数 用数轴上线段的长度表示数的绝对值 用图形表示有理数的四则运算 依靠图形来分析应用题中已知数与未知数的关系 利用方程 函数来解决平面几何中的计算问题等等 例如 在二次函数教学中 二次函数图像的顶点与函数最值问题的概念理解 就应该结合函数的图像 当a0时 函数图像有最低点 因此函数有最小值 通过对比的叙述 使学生明确图像的顶点坐标 同时反映函数的最值问题 也更深刻的理解了这两个概念的联系 以形助数 1 函数的图象在第 象限 在每一象限内 y随x的增大而 2 函数的图象在第 象限 在每一象限内 y随x的增大而 3 对于函数 当x0时 这部分图象在第 象限 y随x的增大而 一 三 二 四 一 减小 增大 减小 减小 三 以形助数 1 函数的图象上有三点 3 y1 1 y2 2 y3 则函数值y1 y2 y3的大小关系是 3 1 y2 y1 y2 y1 y3 y3 2 拓展 以形助数 知识结构 K 性质 应用 下节课继续问题探究 图象 1 双曲线 原点对称 2 位置3 增减性4 与两坐标轴不相交 体会事物之间是有区别但又紧密联系的 待定系数法 与正比例函数联系与区别 运用描点法熟练 准确地作出函数的图像 只有认识函数的图像 才能进一步 分析函数的图像 特征 逐步分析出函数的性质 不仅使学生掌握了一定的画图 技巧 也加强了数形结合思想的渗透 二 加强作图训练 在作图能力的培养渗透数性结合的思想 如图 形如量角器的半圆O的直径DE 12cm 形如三角板的 ABC中 ACB 90 ABC 30 BC 12cm 半圆O以2cm s的速度从左向右运动 在运动过程中 点D E始终在直线BC上 设运动时间为t s 当t 0s时 半圆O在 ABC的左侧 OC 8cm 1 当t为何值时 ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切 2 当 ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时 如果半圆O与直线DE围成的区域与 ABC三边围成的区域有重叠部分 求重叠部分的面积 以形助数 07南充市 如图 点M 4 0 以点M为圆心 2为半径的圆与x轴交于点A B 已知抛物线过点A和B 与y轴交于点C 1 求点C的坐标 并画出抛物线的大致图象 2 点Q 8 m 在抛物线上 点P为此抛物线对称轴上一个动点 求PQ PB的最小值 3 CE是过点C的 M的切线 点E是切点 求OE所在直线的解析式 以形助数 已知正方形 如图 是 上一点 过 上一点 作 的垂线 交 于点 交 于 求证 如图 过正方形 内任意一点作两条互相垂直的直线 分别交 于点 交 于点 与 相等吗 请写出你的结论 当点 在正方形 的边上或外部时 过点 作两条互相垂直的直线 被正方形相对的两边 或它们的延长线 截得的两条线段还相等吗 其中一种情形如图 所示 过正方形 外一点 作互相垂直的两条直线m n m与 的延长线分别交于点 n与 的延长线分别交于点 试就该图对你的结论加以真们证明 n m E 1 2 3 以形助数 三 加强识图训练 在识图能力的培养中渗透数形结合的理解 3 如图 一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A B两点 1 利用图中条件 求反比例函数和一次函数的解析式 2 根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值 以形助数 以数解形 在很久很久以前 古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结 然后用桩钉如图那样钉成一个三角形 你知道这个三角形是什么形状吗 并说明理由 解 这个三角形是直角三角形 理由 设两个结的距离为a 则三边分别为3a 4a 5a 四 以数解形 培养数形结合思想 在等边 ABC中 P Q R分别在AB BC CA求证 PQR是等边三角形 解 设等边 ABC的边长为a AP x bq y CR z 有三角形相似 推出 即 以数解形 已知 ABC的三边长为a b c 且满足试判定 ABC的形状 以数解形 数形结合 既是一种思想 又是一种方法 其实质是把抽象的数学语言与形象的图形结合起来 发挥形象图形的辅助作用 完成抽象概念与形象图像的互相转化 化难为易 化抽象为具体 五 引导学生运用数形结合的思想综合分析问题 解决问题 1 方程的正根的个数为 2 如图 地面上有不在同一直线上的A B C三点 一只青蛙位于地面异于A B C的P点 第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点P1 第二步从P1跳到P1关于B的对称点P2 第三步从P2跳到P2关于C的对称点P3 第四步从P3跳到P3关于A的对称点P4 以下跳法类推 青蛙至少跳几步回到原处P A 4B 5C 6D 8 以形助数 3 某游乐场每天的赢利额y 元 与售出的门票x 张 之间的函数关系如图所示 1 当0 x 200 且x为整数时 y关于x的函数解析式为 当200 x 300 且x为整数时 y关于x的函数解析式为 2 要使游乐场一天的赢利超过1000元 试问该天至少应售出多少张门票 3 请思考并解释图像与y轴交点 0 1000 的实际意义 4 根据图像 请你再提供2条信息 以形助数 4 在数学活动中 小明为了求的值 结果用n表示 设计如图a所示的图形 1 请你利用这个几何图形求的值 2 请你利用图b 再设计一个能求的值的几何图形 以形助数 5 如图 如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF 再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH 如此下去 已知正方形ABCD的面积为1 按上述方法所作的正方形的面积依次为 n为正整数 那么第8个正方形的面积 图3 以形助数 6 07茂名市 已知甲 乙两辆汽车同时 同方向从同一地点A出发行驶 1 若甲车的速度是乙车的2倍 甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇 相遇时乙车走了1小时 求甲 乙两车的速度 2 假设甲 乙每辆车最多只能带200升汽油 每升汽油可以行驶10千米 途中不能再油 但两车可以互相借用对方的油 若两车都必须沿原路返回到出发点A 请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A 并求出甲车一共行驶了多少千米 解 1 设甲 乙两车速度分别是x千米 时和y千米 时 根据题意得 解之得 即甲 乙两车速度分别是120千米 时 60千米 时 2 方案一 设甲汽车尽可能地远离出发点A行驶了x千米 乙汽车行驶了y千米 则 即 即甲 乙一起行驶到离A点500千米处 然后甲向乙借油50升 乙不再前进 甲再前进1000千米返回到乙停止处 再向乙借油50升 最后一同返回到A点 此时 甲车行驶了共3000千米 甲行500千米乙行500千米甲再借油50升返回甲借油50升 甲行1000千米 方案二 画图法 如图此时 甲车行驶了 千米 方案三 先把乙车的油均分4份 每份50升 当甲乙一同前往 用了50升时 甲向乙借油50升 乙停止不动 甲继续前行 当用了100升油后返回 到乙停处又用了100升油 此时甲没有油了 再向乙借油50升 一同返回到A点 此时 甲车行驶了 千米 以形助数 7 2007常州 已知与是反比例函数图象上的两个点 1 求的值 2 若点 则在反比例函数图象上是否存在点 使得以四点为顶点的四边形为梯形 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 以形助数 2 在教学中应循序渐进 持之以恒