控制系统的状态空间表达式.ppt

复习经典控制理论内容 一 数学模型的建立 静态 运动中的自动调节系统 或环节 其输入信号和输出信号都不随时间变化时 称系统 或环节 处于平衡状态 或静态 静态数学模型 静态特性 在平衡状态时 输出信号和引起它变化的输入信号之间的关系 称为系统 或环节 的静态特性 静态数学模型 举例 1 RC电路输入量 电压u1输出量 电容两端的电压uc 静态特性方程 uc u1 2 阀门输入量 阀门前后的差压 P输出量 流量Q静态特性方程 式中fr 阀门局部阻力系数 动态数学模型 动态 运动中的自动调节系统 或环节 当输入信号和输出信号随时间变化时 称系统 或环节 处于不平衡状态或动态 动态数学模型 动态特性 在不平衡状态时 输出信号和引起它变化的输入信号之间的关系 称为系统 或环节 的动态特性 1 数学模型的建立 下面举例说明推导微分方程的基本方法例 RC电路 已知电阻阻值为R 电容为C 当输入信号为u1 输出信号为uc时 试写出该电路的动态特性方程 解 1 写出输入电压u1与输出电压uc的差值变化引起电流i变化的关系式 2 写出输出信号uc与i的关系式 3 消去中间变量i 整理得RC电路的动态特性方程式 环节的静态特性方程式 例 试列出图所示系统的微分方程式 并比较得到的结果 a 中系统的输入信号为FA 输出信号为质量m的位移x b 中系统的输入信号为流经电路的电量q 输出信号为ur 解 a 根据牛顿第二定律 式中f 粘性磨擦系数K 弹簧弹性系数 二 传递函数 1 拉普拉斯变换 Laplacetransform 复习 1 定义 拉普拉斯变换存在的条件为 2 基本定理 1 线性定理 2 微分定理 3 位移定理 设F s L f t 则L e atF t F s a 4 迟延定理 设F s L f t 则L f t T e TSF s 5 初值定理 设F s L f t 如果下列极限存在的话 则有 6 终值定理 设F s L f t 并且SF s 在虚轴上及右半平面内没有极点 则有 7 卷积定理设F1 s L f1 t F2 s L f2 t 则 3 部分分式法 例1求F s 的反变换 解 将F s 分解为部分分式 求待定常数K1 K2 由式 2 16 得 进行反变换 求得原函数f t e 3t 2e t 所以 例2求的反变换 解 查拉普拉斯变换对照表 得 f t e tcost 2e tsint 设R s 0的根中 S1为r阶重根 其余 n r 个根为单根 则F s 可展开为 2 18 式中 Kr 1 Kr 2 Kn可按式 2 16 计算 而K1 K2 Kr则可按下列计算留数的公式求得 2 18 当传递函数分母为零有重根时 例3求F S 的拉普拉斯反变换 解 F s 可展开成 因此 查拉普拉斯关系对照表 得 二 传递函数 TransferFunction 传递函数定义为 线性定常系统在零初始条件下 系统 或环节 输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比 设线性定常系统 或环节 的微分方程是 n m 在初始条件为零的情况下 对式 2 47 进行拉普拉斯变换 得 所以 该系统 或环节 的传递函数为 描述RC电路 传递函数具有以下性质 2 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系 3 系统传递函数的分母就是系统的特征方程 从而能方便地判断动态过程的基本特性 1 传递函数是描述动态特性的数学模型 它表征系统 或环节 的固有特性 和输入信号的具体形式 大小无关 三 脉冲响应和阶跃响应ImpulseResponseandStepResponse 一 单位脉冲响应函数 UnitImpulseResponsefunction 当系统 或环节 的输入信号r t 为单位脉冲函数 t 传递函数为G s 则它的输出信号c t 称为单位脉冲响应 c t 的数学表达式称为单位脉冲响应函数 例RC电路的传递函数 试求其单位脉冲响应函数 并作出单位脉冲响应曲线 解 单位脉冲响应函数uc t 为 作单位脉冲响应曲线图 二 单位阶跃响应函数 当系统 或环节 的输入信号r t 为单位阶跃函数1 t 传递函数为G s 则它的输出信号c t 称为单位阶跃响应 c t 的数学表达式称为单位阶跃响应函数 由于单位阶跃函数1 t 的拉普拉斯变换为 则它的单位阶跃响应函数为 例RC电路的传递函数 试求其单位阶跃响应函数 并作出单位阶跃响应曲线 解 单位阶跃响应函数为 作单位阶跃响应曲线图 四环节的联接方式 一 基本环节 1 比例 Proportional 环节 比例环节的传递函数为 作比例环节的阶跃响应曲线图 比例环节的微分方程为 K 环节的传递系数或比例系数 2 积分 Integral 环节 积分环节的微分方程为 式中 Ti 积分时间 积分环节的传递函数为 作积分环节的阶跃响应曲线 3 惯性 Intertial 环节 非周期环节 式中T 惯性环节的时间常数 K 惯性环节的传递系数或称静态放大系数 惯性环节的传递函数为 它的阶跃响应函数 即当时 输出信号c t 为 惯性环节的微分方程为 阶跃响应曲线是一条指数函数曲线 4 微分 Derivative 环节 1 理想微分环节 式中Td 微分时间 传递函数为 微分方程为 它的阶跃响应函数为 2 实际微分环节 微分方程为 式中Td 实际微分环节的时间常数 传递函数为 阶跃响应函数为 5 纯迟延 Delay 环节 作阶跃响应曲线图 传递函数为 作阶跃响应曲线图 二 环节的基本联接方式 ConnectMode 1 环节的串联 Seriesconnection 2 环节的并联 Parallelconnection 3 环节的反馈联接 Feedbackconnection 举例说明方框图的等效变换 例双容水箱 其输入信号为流入水流量q1或流出水流量q3 其输出信号为第二水箱的水位h2 R为线性化流阻 F1和F2分别为水箱的截面积 试写出其传递函数 解 1 q1和q2的流量差引起第一水箱水位h1的变化过程 2 两个水箱中水位差 h1 h2 改变引起流量q2变化 3 第二水箱进出口的流量差引起水位h2的变化 4 根据上式可得双容水箱方框图 根据等效变换法并以Q1 s 为输入信号 传递函数为 若以Q3 s 为输入信号 传递函数为 比较式 2 91 和式 2 92 可以看出两个传递函数的分母是相同的 也就是说闭环系统的特征方程只取决于闭环系统本身的结构 与输入信号无关 第一章控制系统的状态空间表达式 1 1状态变量及状态空间表达式一状态变量足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量 二状态矢量如果n个状态变量用x1 t x2 t xn t 表示 并把这些状态变量看作是矢量x t 的分量 则x t 就称为状态矢量 三状态空间以状态变量x1 x2 xn为坐标轴所构成的n维空间 称为状态空间 四状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程 例 用下图所示的R L C网络 说明如何用状态变量描述这一系统 根据电学原理 容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程组 亦即 1 1 式 1 1 就是图1 1系统的状态方程 式中若将状态变量用一般符号xi表示 即令x1 uc x2 i 并写出矢量矩阵形式 则状态方程变为 u 1 2 或 Ax bu 式中 x A b 在指定系统输出的情况下 该输出与状态变量间的函数关系式 称为系统的输出方程 如在图1 1系统中 指定x1 uc作为输出 输出一般用y表示 则有 五输出方程 或 y ucy x1 1 3 式 1 3 就是图1 1系统的输出方程 它的矩阵表示式为 y y CTx 1 4 或 式中CT 六状态空间表达式状态方程和输出方程总合起来 构成对一个系统完整的动态描述 称为系统的状态空间表达式 这种状态变量的非唯一性 规根到底 是由于系统结构的不确定性造成的 从理论上说 并不要求状态变量在物理上一定是可以测量的量 但在工程实践上 仍以选取那些容易测量的量作为状态变量为宜 因为在最优控制中 往往需 要将状态变量作为反馈量 设单输入 单输出定常系统 其状态变量为x1 x2 xn 则状态方程的一般形式为 a11x1 a12x2 a1nxn b1u a21x1 a22x2 a2nxn b2u an1x1 an2x2 annxn bnu 输出方程式则有如下形式 y c1x1 c2x2 cnxn 用向量矩阵表示时的状态空间表达式则为 1 5 Ax buy CTx 式中x n维状态矢量 A 系统内部状态的联系 称为系统矩阵 为n n方阵 输入对状态的作用 称为输入矩阵或控制矩阵 这里为n 1的列阵 对于多输入 多输出系统状态空间的矢量矩阵形式为 Ax buy CTx Du 1 6 式中x和A 同单输入系统 分别是状态矢量和n n系统矩阵 u r维输入 或控制 矢量 y m维输出矢量 B B为n r输入 或控制 矩阵 C C为m n输出矩阵 D D为m r直接传递矩阵 为了简便 下面除特别申明 在输入方程中 均不考虑输入矢量的直接传递 即令D 0 七状态空间表达式系统方块图和经典控制理论相类似 可以用方块图表示系统信号传递的关系 对于式 1 5 和式 1 6 所描述的系统 它们的方块图分别如图1 2a和1 2b所示 图中用单线箭头表示标量信号 用双线箭头表示矢量信号 从状态空间表达式和系统方块图都能清楚地说明 它们既表征了输入对于系统内部状态的因果关系 又反映了内部状态对于外部输出的影响 所以状态空间表达式是对于系统的一种完全的描述 1 4状态空间表达式的建立 二 已知系统的内部结构 很容易求得它的状态空间表达式 如上节所述 已知系统的状态空间表达式 也很容易求出它的外部描述 传递函数或运动方程式 后者将于 1 6中介绍 至于它的逆问题 即由描述系统输入 输出动态关系的运动方程或传递函数 建立系统的状态空间表达式 这样的问题叫实现问题 所求得的状态空间表达式既保持了原传递函数所确定的输入 输出关系 又将系统的内部关系揭示出来 根据输入输出关系求得的状态空间表达式并不是唯一的 会有无穷多个内部结构能够获得相同的输入输出关系 考虑一个单变量线性定常系统 它的运动方程是一个n阶线性常系数微分方程 y n an 1y n 1 a1 a0 y bmu m bm 1u m 1 b1 b0u 1 7 相应的传递函数为 W S m n 1 8 所谓实现问题 就是根据上二式寻求如下式的状态空间表达式 Ax buy CTx Du 1 9 实现的存在条件是m n 一传递函数中没有零点时的实现 在这种情况下 系统的微分方程为 y n an 1y n 1 a1 a0 y b0u t 1 10 相应的传递函数为 W S 1 11 常用的简便形式可由相应的模拟结构图 图1 3 导出 这种由中间变量到输入端的负反溃 是一种常见的结构形式 将图中每个积分器的输出取作状态变量 有时称为相变量 从图1 3 容易列出系统的状态方程 x2 x3 xn a0 x1 a1x2 an 2xn 1 an 1xn u 输出方程为y b0 x1 表示成矩阵形式则为 u A x bu y x 1 12 CT 当A矩阵具有式 1 12 形式时 称为友矩阵 友矩阵的特点是主对角现上方的元素均为1 最后一行的元素可取任意值 而其余元素均为零 二传递函数中有零点时的实现 系统的微分方程为 y n an 1y n 1 a1 a0 y bmu m bm 1u m 1 b1 b0u 相应的传递函数为 为了说明方便 又不失一般性 从三阶微分方程出发 找出实现规律 然后推广到n阶系统 设待实现的系统传递函数为 因为n m 上式可变换成 1 13 1 14 对上式求拉式反变换 可得 据此可得系统模拟结构图 如图1 4所示 或表示成 1 15 推广到n阶系统 式 1 14 的实现 可以为 它的状态方程与式 1 12 是相同的 所不同的只是输出方程 注意到这个差别 就很容易根据是 1 16 由传递函数中分子分母多项式的系数 写出系统的状态表达式 1 16 三多输入 多输出系统微分方程的实现 以双输入 双输出的三阶系统为例 设系统的微分方程为 同单输入 单输出系统一样 式 1 17 系统的实现也是非唯一的 现采用模拟结构图的方法 按高阶导数项求解 对每一个方程积分 1 17 故得模拟结构图 如图1 17所示 取每个积分器的输出为一个状态变量 如图1 17所示 则式 1 17 的一种实现为 也可以用如下矩阵的方式表示 1 5状态向量的线性变量 坐标变换 一系统状态空间表达式的非唯一性对于一个给定的定常系统 可以选择许多种状态变量 相应地有许多状态空间表达式描述同一系统 也就是说系统可以有多种结构形式 所选取的状态矢量之间 实际是一种矢量的线性变换 或称坐标变换 设给定系统为 1 18 1 19 我们总可以找到任意一个非奇异矩阵T 将原状态向量x作线性变换 得到另一状态矢量z 设变换关系为 x Tz即z T 1x 代入式 1 37 得到新的状态空间表达式 1 20 T 1ATz T 1Bu z 0 T 1x 0 T 1x0y CTz Du 很明显 由于T为任意非奇异阵 故状态空间表达式为非唯一的 通常称T为变换矩阵 二系统特征值的不变性及系统的不变量 1系统特征值 系统 Ax Buy Cx Du 系统特征值就是系统矩阵A的特征值 也即特征方程 0 1 21 的根 nxn方阵A有n个特征值 实际物理系统中 A为实数方阵 故特征值或为实数 或为成对共轭复数 如A为实数对称方阵 则其特征值都是实数 2系统的不变量与特征值的不变性 同一系统 经非奇异变化后 得 T 1ATz T 1Buy CTz Du 其特征方程为 0 1 22 式 1 21 与式 1 22 形式虽然不同 但实际是相等的 即系统的非奇异变换 其特征值是不变的 将特征方程写成多项式形式 n an 1 n 1 a1 a0 0 由于特征值全有特征多项式的系数an 1 an 2 a1 a0唯一确定 而特征值经非奇异变换是不变的 那么这些系数an 1 an 2 a1 a0也是不变量 所以称特征多项式的系数为系统的不变量 3特征矢量 一个n维矢量pi经过以A作为变化阵的变换 得到一个新的矢量pi 即 Api 如果此 ipi 即矢量pi经A线性变化后 方向不变 仅长度变化 i倍 i为标量 它是变换阵S的特征值 则称pi为A的对应于 i的特征矢量 此时有Api ipi 三状态空间表达式变换为约旦标准型 根据系统矩阵A 求其特征值 可以直接写出系统的约旦标准型矩阵J J J 欲得到变换的控制矩阵T 1B和输出矩阵CT 则必须求出变换矩阵T 下面根据A阵形式有无重根的情况 分别介绍几种求T的方法 1 23 1 24 1A阵为任意形式 1 特征值无重根时设 i是A的n个互异特征根 I 1 2 n 求出 i的特征矢量pi 则变换矩阵由A的特征矢量p1 p2 pn构成 即 T p1p2 pn 1 25 2 A阵的特征值有重根时设A的特征值有q个 1的重根 其余 n q 个根为互异根 现不加证明地引出变换矩阵T的计算公式如下T p1p2 pqpq 1 pn 1 26 其中 pq 1 pn是对应于 n q 个单根的特征矢量 求法同前 对应于q个 1重根的各向量p1p2 pq的求得 应根据下式计算 1 27 显然 p1仍为对应的特征矢量 其余p2 pq则称之为广义特征矢量 2A阵为标准型 即 A 1 A的特征值无重根时 其变换矩阵是一个范德蒙德 Vandermonde 矩阵 为 T 1 28 2 A的特征值有重根时 以有 1的三重根为例 T 1 29 3 有共轭复根时 以四阶系统其中一对共轭复根为例 即 1 2 3 4 T 1 30 此时 T 1AT 1 31 3系统的并联型实现 已知系统传递函数 W s 1 32 现将式 1 32 展开成部分分式 由于系统的特征根有两种情况 一是所有根均是互异的 一是有重根 现分别讨论如下 1 具有互异根的情况 此时式 1 32 可写成 W s 式中 1 2 n 系统的特征根 1 33 将其展开成部分分式 根据式 1 34 容易看到 其模拟结构图如图1 18a或1 18b所示 这种结构采取的是积分器并联的结构形式 取每个积分器的输出作为一个状态变量 系统的状态空间表达式分别为 或 1 35 1 36 1 34 式 1 35 和式 1 36 是互为对偶的 同理 图1 18a和图1 18b也有其对偶关系 不论式 1 35 和式 1 36 它们都是属于约旦标准型 或对角线标准型 因此 约旦标准型的实现是并联型的 2 具有重根的情况 设一个q重的主根 1 其余 q 1 q 2 n是互异根 这时W s 的部分分式展开式为 1 37 从式 1 37 可知系统的一种实现 具有图1 19所示的结构 除重根是取积分器串联的形式外 其余均为积分器并联 从图1 19的结构图 不难列出其相应的状态空间表达式 用矩阵形式表示 有 u u y c1qc1 q 1 c12c11cq 1 cn 1 38 1 6从状态空间表达式求传递函数阵 一传递函数阵1单输入 单输出系统已知系统的状态空间表达式 Ax Buy CTx du 1 39 式中x n维状态矢量 y和u 输入和输出 它们都是标量 A n n方阵 B n 1列阵 CT 1 n行阵 d 标量 一般为零 对式 1 39 进行拉氏变换 并假定初始条件为零 则有 1 40 X s sI A 1BU s Y s CTX s dU s 故U X间的传递函数为 Wux s sI A 1B 1 41 它是一个 nx1 的列阵函数 U Y间的传递函数为 Wuy s CT sI A 1B d 1 42 它是一个标量 2多输入 多输出系统 已知系统的状态空间表达式 Ax Buy Cx Du 1 43 式中u r 1维输入列矢量 y m 1维输出列矢量 B n r控制矩阵 C m n输出矩阵 D m r直接传递阵 x A 同单变量系统 同前 对式 1 43 作拉氏变换 并认为初始条件为零 得 1 44 X s sI A 1BU s Y s C sI A 1BU s DU s 故U X间的传递函数为 Wux s sI A 1B 1 45 它是一个 nxr 的矩阵函数 U Y间的传递函数为 Wuy s C sI A 1B