教学目的多元函数的有关概念.ppt

教学目的 多元函数的有关概念教学重点 平面区域二元函数的连续性教学难点 二元函数极限的计算 多元函数 多元函数 以前讨论的函数只含有一个自变量 称为一元函数 本章将以一元函数微分学为基础介绍多元函数微分学及其应用 多元函数 但实际问题通常受多种因素的影响 例圆柱体的体积v r2h 它含有两个自变量 又如温度的变化 它与空间点的坐标 x y z 和时间t等因素有关 故表示温度的函数至少含有4个自变量 含有多个自变量的函数称为多元函数 多元函数 定义1全部xoy平面或由xoy面上一条或几条曲线围成的一部分平面 称为一个平面区域 常用字母D表示 围成区域的曲线称为区域的边界 闭区域 开区域 有界区域 无界区域 x轴上的区间可用x的不等式 组 表示 xoy平面上的区域可用x y的不等式 组 表示 平面区域与邻域 例题 邻域 例2理想气体的压强P 体积V和绝对温度T之间具有关系 其中R是常数 对于V和T在它们的变化范围内所取的每一值 P的对应值随之而确定 例题 例3设长方体的长 宽 高分别为x y z 则其体积为 v xyz 在长 宽 高的变化范围内给定一组x y z的数值 体积v就随之而确定 定义3设D是平面上的一个点集 如果对于每个点P x y D 变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应 则称z是变量x y的二元函数 或点P的函数 例题 记为z f x y 或z f P 点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量 数集 z z f x y x y D 称为该函数的值域 类似地可以定义三元函数u f x y z 和更多元的函数 二元及二元以上的函数叫多元函数 多元函数 在平面上它表示条型区域 在平面上它表示无界开区域 多元函数定义域的求法和一元函数定义域的求法类似 定义域在几何上的意义与一元函数是不同的 例题 以x为横坐标 y为纵坐标 z为竖坐标 在空间确定了一个点M x y z 设二元函数z f x y 的定义域为D 对于任意取定的点P x y D 对应的函数值为z f x y 当点 x y 在D上变化且取遍D上的一切点时 动点M x y z 在空间移动形成一张曲面 称为函数z f x y 的图形 图示8 5 二元几何意义 例5指出下列二元函数对应的空间曲面 解 1 过原点的平面 例题 记为 二元函数的极限 如沿射线 沿曲线 沿点列等等 因而二元函数的极限一般较难计算 不过 二元函数的极限有与一元函数极限相同的四则运算法则 且某些二元函数极限问题可以转化为一元函数的极限来计算 注意 解 例题 若f x y 在区域D上每点都连续 则称f x y 为区域D上的连续函数 定理1 1 连续函数的和 差 积 商 分母不为零 和复合函数仍为连续函数 2 初等函数在其有定义的区域上连续 利用定理1很容易确定初等函数的连续区域或求初等函数的某些极限 二元函数连续性 故 定理2 1 在有界闭区域D上连续的函数必在D上有最大值和最小值 2 在有界闭区域D上连续的函数 必能取得介于最大值和最小值之间的任何值 例题 1 连续函数的和 差 积 商 分母不为零 和复合函数仍连续 2 初等函数在其有定义的区域上连续 3 在有界闭区域