高中数学：利用导数求参数的取值范围.ppt

第4讲利用导数求参数的取值范围 高考定位由含参函数的单调性 极值 最值求参数的取值范围是近几年高考命题的重点 试题难度较大 答案C 2 2014 新课标全国卷 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 则a的取值范围是 A 2 B 2 C 1 D 1 答案B 安全文明网 答案C 考点整合 1 函数单调性的应用 1 若可导函数f x 在 a b 上单调递增 则f x 0在区间 a b 上恒成立 2 若可导函数f x 在 a b 上单调递减 则f x 0在区间 a b 上恒成立 3 可导函数f x 在区间 a b 上为增函数是f x 0的必要不充分条件 2 分离参数法当参数的系数符号确定时 可以先考虑分离参数 进而求另一边函数的最值 有a f x 恒成立 即a f x max 或有a f x 恒成立 即a f x min 热点一已知函数的单调性求参数的取值范围 例1 2014 杭州模拟 设函数f x x2 ax lnx a R 1 若a 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间 0 1 上是减函数 求实数a的取值范围 规律方法 1 当f x 不含参数时 可通过解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 2 已知函数的单调性 求参数的取值范围 应用条件f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立的理论求解 应注意参数的取值是f x 不恒等于0的参数的范围 热点二与函数极值 最值有关的求参数范围问题 微题型1 与极值点个数有关的求参数的取值范围 例2 1 2014 温州适应性测试改编 已知函数f x ax2 ex a R 1 当a 1时 试判断f x 的单调性 2 若f x 有两个极值点x1 x2 x1 x2 求实数a的取值范围 解 1 当a 1时 f x x2 ex 则f x 2x ex 设g x f x 2x ex 则g x 2 ex 当x ln2时 g x 0 当x ln2 时 g x 0 当x ln2 时 g x 0 f x max g x max g ln2 2ln2 2 0 故f x 0恒成立 f x 在R上单调递减 探究提高本题关键是把极值点看做是函数的导函数对应方程的根 在求范围时通常的做法就是构造相应函数 再由导数讨论单调性与极值求解 2 设 x h x ax 5 x2 a 2 x 6 F x g x xg x ex 3 x ex 3 1 x ex 3x 3 依题意知 当x 1 1 时 x min F x max F x ex 1 x ex 3 xex 3 易知F x 在 1 1 上单调递减 F x min F 1 3 e 0 F x 在 1 1 上单调递增 F x max F 1 0 规律方法有关两个函数在各自指定的范围内的不等式的恒成立问题 这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的 就应该通过最值进行定位 对于任意的x1 a b x2 m n 不等式f x1 g x2 恒成立 等价于f x min g x max 列出参数所满足的条件 便可求出参数的取值范围 训练2 2014 洛阳模拟 已知函数f x x3 3ax b在x 2处的切线方程为y 9x 14 1 求a b的值及f x 的单调区间 2 令g x x2 2x m 若对任意x1 0 2 均存在x2 0 2 使得f x1 g x2 求实数m的取值范围 2 由 1 知f x 在 0 1 上单调递减 在 1 2 上单调递增 f 0 2 f 2 4 f x max 4 又g x x2 2x m在区间 0 2 上 g x max g 1 m 1 由已知对任意x1 0 2 均存在x2 0 2 使得f x1 g x 2 则有f x max g x max 则4 m 1 m 3 故实数m的取值范围是 3 含参数的不等式恒成立 存在性问题 1 x1 a b x2 c d 有f x1 g x2 成立 f x min g x min 2 x1 a b x2 c d 都有f x1 g x2 成立 f x min g x max 3