数值分析ex4-5《数值分析》习题课I.ppt

数值分析 习题课I 误差与有效数字二分法 牛顿迭代法不动点迭代与收敛阶典型例题与习题 具有n位有效数字 则绝对误差满足 2 18 相对误差满足 如果一个浮点数 1 设x 是f x 0在 a b 内的唯一根 且f a f b 0 则二分法计算过程中 数列 满足 xn x b a 2n 1 2 Newton迭代格式 3 弦截法迭代格式 n 0 1 2 3 18 定理如果 满足条件 2 则 区间 a b 内存在唯一的不动点x 设 若存在a 0 r 0使得 则称数列 xn r阶收敛 且对任意x0 a b 迭代格式产生的序列 xn 收敛到不动点x 误差满足 4 18 数列加速收敛原理 定理2 6设x 是的不动点 且 而则p阶收敛 5 18 例1 设x1 1 21 x2 3 65 x3 9 81都具有三位有效位数 试估计数据 x1 x2 x3 的误差限 解 由 e x1 0 5 10 2 e x2 0 5 10 2 e x3 0 5 10 2所以 e x2 x3 10 2 e x1 x2 x3 1 21 0 5 13 46 10 2 7 94 10 2 Ex1 若要x1 x2 x3 的误差限为0 5 10 2 问数据x1 x2 x3应该具有几位有效数 6 18 例2 设计算球体V允许其相对误差限为1 问测量球半径R的相对误差限最大为多少 解 由球体计算公式分析误差传播规律 故当球体V的相对误差限为1 时 测量球半径R的相对误差限最大为0 33 相对误差传播规律 Ex2 对z f x y 若允许其相对误差为1 问应该对x y如何限制 7 18 例3 采用迭代法计算 取x0 2 k 0 1 2 若xk具有n位有效数字 求证xk 1具有2n位有效数字 8 18 思考 反问题 1 8序列 yn 满足递推关系yn 10yn 1 1 n 1 2 若取y0 2 1 41 三位有效数字 递推计算y10时误差有多大 计算过程稳定吗 解 取x0 1 41 则e x0 0 005e xn 10e xn 1 n 1 2 10 e x10 10e x9 1010e x0 e x10 1010 e x0 0 5 108 计算过程不稳定 9 18 1 12利用级数可计算出无理数 的近似值 由于交错级数的部分和数列Sn在其极限值上下摆动 故截断误差将小于第一个被舍去的项的绝对值 an 1 试分析 为了得到级数的三位有效数字近似值 应取多少项求和 解 由部分和 10 18 2 6应用牛顿迭代法于方程x3 a 0 导出求立方根的迭代公式 并讨论其收敛性 解 令f x x3 a 则牛顿迭代公式 故立方根迭代算法二阶收敛 11 18 例4 设a为正实数 试建立求1 a的牛顿迭代公式 要求在迭代公式中不含有除法运算 并考虑迭代公式的收敛 xn 1 xn 2 axn n 0 1 2 所以 当 1 ax0 1时 迭代公式收敛 解 建立方程 利用牛顿迭代法 得 12 18 例5 若x 是f x 0的二重根 分析牛顿迭代法的收敛性 解 由于f x x x 2g x Ex 若x 是f x 0的m重根 试分析牛顿迭代法的收敛性 13 18 练习1将割线法修改为单点迭代公式 试分析该算法的收敛性 14 18 练习2设计多项式乘积 卷积 算法 Pn x a1xn a2xn 1 anx an 1 Pm x b1xm b2xm 1 bmx bm 1 用 a1a2 anan 1 表示Pn x 用 b1b2 bmbm 1 表示Pm x Pn m x c1xn m c2xn m 1 cn mx cn m 1 用 c1c2 cn mcn m 1 表示Pn x Pm x 15 18 练习3在计算机上对调和级数自左至右做求和计算 当n很大时 Sn将不随n的增加而增加 试说明原因 16 18 练习4分析下列方程 确定方程的全部隔根区间 17 18 1 xsinx 1 2 sinx e x 0 3 x tanx 4 x2 e x