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文档简介

2随机变量的函数的分布 一 问题的提出 在实际中 人们常常对随机变量的函数更感兴趣 求截面面积A 的分布 例如 已知圆轴截面直径d的分布 随机变量的函数 则Y也是一随机变量 设X是一随机变量 Y是X的函数 解 当X取值1 2 5时 Y取对应值5 7 13 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件 两者具有相同的概率 故 一 离散型随机变量函数的分布 如果g xk 中有一些是相同的 把它们作适当并项即可 一般 若X是离散型r v X的概率函数为 则Y X2的概率函数为 一 离散型随机变量的函数的分布 设X为离散型随机变量 其分布函数为 设Y是X的函数 则Y也为离散型随机变量 其函数值为 第一种情形 第二种情形 例1 设随机变量X具有以下的分布律 试求Y X 1 2的分布律 解 X有可能取的值为 1 0 1 2 Y对应取的值分别为4 1 0 1 且Y 0对应于 X 1 2 0 有X 1 所以 P Y 0 P X 1 0 1 例2 同理 P Y 1 P X 0 P X 2 0 3 0 4 0 7 P Y 4 P X 1 0 2 所以 Y X 1 2的分布律为 Y X 1 2 二 连续型随机变量函数的分布 解题思路 设随机变量X具有概率密度 试求Y 2X 8的概率密度 解 1 先求Y 2X 8的分布函数FY y 例3 定理2 1 设随机变量X具有概率密度 设函数Y kX b k 0 则Y g X 是一个连续型随机变量 其概率密度为 证明 同理可证k 0时 变限的定积分的求导公式 证明方法二 同理可证k 0时 由定理2 1可得Y 2X 8的概率密度为 变限的定积分的求导公式 定理2 2 设随机变量X具有概率密度 则Y g X 是一个连续型随机变量Y 其概率密度为 记h y 是g x 的反函数 即 设函数Y g X 单调且处处可导 且导数恒不为零 设随机变量X具有概率密度 例5 求Y 和Y X2的概率密度 解 是单调可导函数 并且其导函数 其反函数可导且 有定理2 2 可得 2 由于Y X2不是单调函数 通过分布函数FY y 求其概率密度函数 本例用到变限的定
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